https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/ 2026-04-26T18:33:59+00:00 https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/ https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/lib/exe/fetch.php?media=wiki:logo.png text/html 2020-05-10T19:31:39+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:4_sommes&rev=1589139099&do=diff Retour Preuve : 4 sommes très usuelles * Soit $\mathcal H(n)$ la proposition : $$\ds\sum_{k=1}^{n}{k^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$On vérifie aisément l'égalité des deux membres dans le cas où $n=1$. Soit donc $n$ un entier naturel non nul tel que la proposition $\mathcal P(n)$ est vraie. Alors : $$\begin{array}{rcl} \ds \sum_{k=1}^{n+1}{k^2} & = & \ds (n+1)^2 + \sum_{k=1}^{n}{k^2} \\ & = & \ds (n+1)^2 + \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ & = & (n+1) \dfrac{(6n+6)+(2n^2+n)}{6} \\ & = & … text/html 2020-05-10T19:31:39+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:approximation_loi_binomiale_par_loi_normale&rev=1589139099&do=diff Retour Preuve : approximation d'une loi binomiale par une loi normale Soit $p\in\left]0,1\right[$. Soit $N\hookrightarrow\mathcal{N}(0,1)$. Soit $B_{k}$ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant toutes la loi de Bernoulli $\mathcal{B}(1,p)$. On pose : $$\ds\forall n\geqslant1,\;X_{n}=B_{1}+\dots+B_{n}$$Alors, par théorème de stabilité par somme indépendante, on a :$$\ds X_{n}\hookrightarrow\mathcal{B}(n,p)$$$\mathbb{E}(B_{1})=p$$\mathbb{V}(B_{1})=p(1-p)$$$\ds X_{n}… text/html 2020-05-10T19:31:39+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:approximation_loi_binomiale_par_loi_poisson&rev=1589139099&do=diff Retour Preuve : approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson Soit $k\in\N$. Pour tout entier $n\geqslant\max\left\{ k,\lambda\right\} $, on a : $$\ds\mathbb{P}(X_{n}=k)=\binom{n}{k}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^{k}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}=\frac{n(n-1)\dots(n-k+1)}{k!}\times\frac{\lambda^{k}}{n^{k}}\times\frac{n^{k}}{(n-\lambda)^{k}}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n}$$ Or, on sait que $\ds\left(1+\frac{a}{n}\right)^{n}\underset{n\to+\infty}{\sim}\mathrm{e}^{a}$ do… text/html 2020-05-10T19:31:39+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:approximation_loi_poisson_par_loi_normale&rev=1589139099&do=diff Retour Preuve : approximation d'une loi Poisson par une loi normale Soit $N\hookrightarrow\mathcal{N}(0,1)$. Soit $(P_{k})_{k\geqslant1}$ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant toutes la loi de Poisson $\mathcal{P}(1)$. On pose : $$\ds\forall n\geqslant1,\;S_{n}=P_{1}+\dots+P_{n}\qquad\text{et}\qquad\bar{X}_n=\frac{1}{n}S_n$$Alors, par théorème de stabilité par somme indépendante, on a :$$\ds S_{n}\hookrightarrow\mathcal{P}(n)$$$\mathbb{E}(P_{1})=1$$\mathbb{V}(P… text/html 2020-05-10T19:31:39+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:base_incomplete&rev=1589139099&do=diff Retour Preuve : théorème de la base incomplète Soit $E$ de dimension $n$, $p\in\llbracket1,n-1\rrbracket$ et $\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{p}\right)$ une famille libre de vecteurs de $E$. * Comme $p<n$ alors cette famille n'est pas une base de $E$ donc n'est pas génératrice de $E$. Il existe alors un vecteur $\vv*{x}{p+1}\in E$ tel que $\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{p},\vv*{x}{p+1}\right)$ est libre. * Si $p+1=n$$E$$\vv*{x}{p+2}$$n$ text/html 2020-05-14T12:40:23+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:bayes&rev=1589460023&do=diff Retour Preuve : formule de Bayes Par définition de la probabilité conditionnelle puis par formule des probabilités totales, on a : $$\begin{array}{rcl} \mathbb{P}_{B}(A_i) & = & \dfrac{\mathbb{P}(B\cap A_i)}{\mathbb{P}(B)} \\ & = & \dfrac{\mathbb{P}(A_i) \mathbb{P}_{A_i}(B)}{\ds \sum_{k=1}^{+\infty}{\mathbb{P}(A_k) \mathbb{P}_{A_k}(B)}} \end{array}$$ text/html 2020-05-10T19:31:39+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:bilinearite_par_symetrie&rev=1589139099&do=diff Retour Preuve : bilinéarite par symétrie Soit $(\vv{x},\vv{y},\vv{z})\in E^{3}$ et $(\lambda,\mu)\in\R^{2}$. Alors, par symétrie puis linéarité sur la première variable puis encore symétrie, on a : $$\ds\varphi(\vv{x},\lambda\vv{y}+\mu\vv{z})=\varphi(\lambda\vv{y}+\mu\vv{z},\vv{x})=\lambda\varphi(\vv{y},\vv{x})+\mu\varphi(\vv{z},\vv{x})=\lambda\varphi(\vv{x},\vv{y})+\mu\varphi(\vv{x},\vv{z})$$d'où la linéarité par rapport à la seconde variable. text/html 2023-12-10T21:48:50+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:binome_newton_matrices&rev=1702244930&do=diff Retour Preuve : binôme de Newton pour les matrices On procède par récurrence pour la première égalité. Soit $\mathcal{H}(p)$ la proposition : $$\ds (A+B)^{p}=\sum_{k=0}^{p}{\binom{p}{k}A^{k}B^{p-k}}$$ Au rang $p=0$, les deux membres de l'égalité sont égaux à la même matrice : $I_{n}$. Soit $p\in\N$. Supposons que la proposition $\mathcal{H}(p)$ soit vraie. Alors :$$\begin{array}{rcl} (A+B)^{p+1} & = & (A+B)^{p}(A+B) \\ & {\scriptstyle \overset{\mathcal{H}(p)}{{\textstyle =}}} & {\displayst… text/html 2020-05-10T19:31:40+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:carac_fct_repartition&rev=1589139100&do=diff Retour Preuve : propriétés de la fonction de répartition * Supposons que $F_X$ est la fonction de répartition d'une variable aléatoire $X$ discrète. * Soit $x<y$. On a : $[X\leqslant x]\subset[X\leqslant y]$. Par croissance de la probabilité, on a : $$F_{X}(x)=\mathbb{P}(X\leqslant x)\leqslant\mathbb{P}(X\leqslant y)=F_{X}(y)$$donc $F_{X}$ est croissante sur $\R$ (démonstration valable pour une variable aléatoire de type quelconque).$X(\Omega)=\{x_{0},x_{1},\dots,x_{n},\dots\}$$x_{0}<x_{… text/html 2020-06-22T08:53:02+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:caracterisation_base_endomorphisme_symetrique&rev=1592815982&do=diff Retour Preuve : caractérisation d'un endomorphisme symétrique par une base * $\boxed{\implies}$ : c'est évident. * $\boxed{\impliedby}$ : Supposons que $$\ds\forall(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2},\;\left\langle u(\vv{e_i}),\vv{ej}\right\rangle =\left\langle \vv{e_i},u(\vv{e_j})\right\rangle $$ Soit $\ds\vv{x}=\sum_{i=1}^{n}{x_{i}\vv{e_i}}$ et $\ds\vv{y}=\sum_{i=1}^{n}{y_{i}\vv{e_j}}$. Alors, par linéarité de $u$, on a : $$\begin{array}{rcl}\left\langle u(\vv{x}),\vv{y}\right\rangle & … text/html 2020-06-22T08:55:37+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:caracterisation_matricielle_endomorphisme_symetrique&rev=1592816137&do=diff Retour Preuve : caractérisation matricielle d'un endomorphisme symétrique Notons $A=(a_{i,j})$ la matrice de $u$ dans $\mathcal{B}=(e_{1},\dots,e_{n})$ qui est orthonormale. Notons $E_{i}$ la matrice colonne des coordonnées de $e_{i}$ dans la base $\mathcal{B}$. Comme la base est orthonormale alors, pour tout $(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2}$, on a : $$\begin{array}{rcl} \ds\left\langle u(\vv{e_i}),\vv{e_j}\right\rangle =\left\langle \vv{e_i},u(\vv{e_j})\right\rangle & \iff & \ds{}^{t}{(A… text/html 2020-05-25T08:26:09+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:caracterisation_orthogonal&rev=1590395169&do=diff Retour Preuve : caractérisation du sous-espace orthogonal Notons $G$ l'ensemble des vecteurs orthogonaux à $F$. * $G$ est un sous-ensemble de $E$. * Comme $\varphi(\vv{0_E},\vv{x})=0$ pour tout $\vv{x}\in F$ alors $G\neq\varnothing$. * Soit $(\vv{y_1},\vv{y_2})\in G^{2}$ et $(\lambda_{1},\lambda_{2})\in\R^{2}$. Alors : $$\ds\forall x\in F,\;\varphi(\vv{x},\lambda_{1}\vv{y_1}+\lambda_{2}\vv{y_2})=\lambda_{1}\varphi(\vv{x},\vv{y_1})+\lambda_{2}\varphi(\vv{x},\vv{y_2})=0$$ donc $G$ est st… text/html 2020-05-25T07:50:23+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:caracterisation_orthogonalite_sous_espaces&rev=1590393023&do=diff Retour Preuve : caractérisation de l'orthogonalité de sous-espaces Supposons $F$ et $G$ de dimensions respectives $p$ et $q$. * L'implication directe est évidente d'après la définition de l'orthogonalité de deux sous-espaces. * Supposons que $\varphi(\vv{x_i},\vv{y_j})=0$ pour tous les couples d'indices $(i,j)\in\llbracket1,p\rrbracket\times\llbracket1,q\rrbracket$$\ds\vv{x}=\sum_{i=1}^{p}{a_i \vv{x_i}}\in F$$\ds\vv{y}=\sum_{j=1}^{q}{b_j \vv{y_j}}\in G$$$\ds\varphi(\vv{x},\vv{y})=\sum_{i… text/html 2020-05-10T19:31:40+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:caracterisation_projecteur&rev=1589139100&do=diff Retour Preuve : caractérisation d'un projecteur * $\boxed{\implies}$ Supposons que $p$ est un projecteur de $E$. Alors $E=\text{Ker}(p)\oplus\text{Im}(p)$ et : $$\forall(\vec{x}_{1},\vec{x}_{2})\in\text{Ker}(p)\times\text{Im}(p),\; p(\vec{x}_{1}+\vec{x}_{2})=\vec{x}_{2}$$Ainsi, on a : $$\forall(\vec{x}_{1},\vec{x}_{2})\in\text{Ker}(p)\times\text{Im}(p),\ p(p(\vec{x}_{1}+\vec{x}_{2}))=p(\vec{x}_{2})=p(\vec{x}_{1})+p(\vec{x}_{2})=p(\vec{x}_{1}+\vec{x}_{2})$$ce qui prouve que $p^{2}=p$. $\boxe… text/html 2020-06-21T21:48:04+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:caracterisation_projete_orthogonal&rev=1592776084&do=diff Retour Preuve : caractérisation du projeté orthogonal Soit $\vv{x}\in E$. On sait que $\vv{x}=p_{F}(\vv{x})+(x-p_{F}(\vv{x}))$ avec $p_{F}(\vv{x})\in F$ et $\vv{x}-p_{F}(\vv{x})\in F^{\perp}$. Pour tout vecteur $\vv{u}\in F$ , le théorème de Pythagore donne : $$\|\vv{u}-\vv{x}\| = \|(\vv{u}-p_{F}(\vv{x}))-(\vv{x}-p_{F}(\vv{x}))\| = \sqrt{\|\vv{u}-p_{F}(\vv{x})\|^{2}+\|\vv{x}-p_{F}(\vv{x})\|^{2}} \geqslant \|\vv{x}-p_{F}(\vv{x})\| = \|p_{F}(\vv{x})-\vv{x}\|$$ et l'inégalité est stricte si et s… text/html 2020-05-11T21:30:02+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:caracterisation_somme_directe&rev=1589232602&do=diff Retour Preuve : caractérisations de la somme directe Pour tout $i\in[\![1,p]\!]$, on note : $r_{i}=\dim(F_{i})$ et $\ds\mathcal{B}_{i}=\left(\vv{x_1}^{(i)},\dots,\vv{x_{r_i}}^{(i)}\right)$. * $\boxed{1\implies2}$ : Supposons que la somme est directe. La décomposition de $\vv{0_E}$ est unique et $\vv{0_E}+\dots+\vv{0_E}$ en est une donc c'est la seule. * $\boxed{2\implies3}$ : Supposons l'unicité de la décomposition de $\vv{0_E}$. La concaténation des bases est nécessairement une famille … text/html 2020-05-10T19:31:40+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:caracterisation_valeur_propre&rev=1589139100&do=diff Retour Preuve : caractérisation d'une valeur propre $$\begin{array}{c} \lambda\in\text{Sp}(u)\\ \Updownarrow\\ \exists x\ne0_{E}\;/\;u(x)=\lambda x\\ \Updownarrow\\ \exists x\ne0_{E}\;/\;(u-\lambda\text{Id}_{E})(x)=0_{E}\\ \Updownarrow\\ u-\lambda\text{Id}_{E}\notin\mathcal{GL}(E)\\ \Updownarrow\\ \text{rg}(u-\lambda\text{Id}_{E})<\dim(E)\\ \Updownarrow\\ \dim(E_{\lambda}(u))=\dim(\text{Ker}(u-\lambda\text{Id}_{E}))=\dim(E)-\text{rg}(u-\lambda\text{Id}_{E})>0 \end{array}$$ text/html 2020-05-25T08:20:58+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:changement_base_orthonormale&rev=1590394858&do=diff Retour Preuve : matrice de changement de bases orthonormales On sait que : $$\ds\forall j\in\llbracket1,n\rrbracket,\; \vv{e_j'}=\sum_{i=1}^{n}{\left\langle \vv{e_j'},\vv{e_i}\right\rangle \vv{e_i}}\qquad\text{et}\qquad\forall k\in\llbracket1,n\rrbracket,\; \vv{e_k}=\sum_{j=1}^{n}{\left\langle \vv{e_k},\vv{e_j'}\right\rangle \vv{e_j'}}$$ ce qui permet de dire que : $$\ds P=\left(\left\langle \vv{e_j'},\vv{e_i}\right\rangle \right)_{(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2}}\qquad\text{et}\qquad P^{… text/html 2024-02-24T15:50:51+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:changement_bases&rev=1708789851&do=diff Retour Preuve : changement de bases On a le diagramme suivant formé de couples espace/base : $$\begin{array}{ccc} (E,\mathcal{B}_{E}') & \xrightarrow[\quad A'\quad]{u} & (E,\mathcal{B}_{E}')\\ {\scriptstyle \text{Id}_{E}}\downarrow{\scriptstyle P} & & {\scriptstyle P}\downarrow{\scriptstyle \text{Id}_{E}}\\ (E,\mathcal{B}) & \xrightarrow[u]{\quad A\quad} & (E,\mathcal{B}_{E}) \end{array}$$c'est-à-dire que: $$\text{Id}_{E}\circ u=u\circ\text{Id}_{E}$$ et $$P\times A'=A\times P$$ ce qui donne … text/html 2020-07-05T22:35:49+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:changement_variable_integrale&rev=1593988549&do=diff Retour Preuve : Changement de variable dans une intégrale impropre Soit $F$ une primitive d'une fonction $f$ définie et continue sur $\left]a,b\right[$. On suppose que $\ds u\colon\left]\alpha,\beta\right[\to\left]a,b\right[$ une application de classe $\mathcal{C}^{1}$, bijective et strictement croissante de $\left]\alpha,\beta\right[$ dans $\left]a,b\right[$. Ainsi, par continuité, bijectivité et croissance stricte : $$\ds u(x)\xrightarrow[x\to\alpha]{}a\qquad u(x)\xrightarrow[x\to\beta]{}b$… text/html 2020-05-25T16:33:54+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:changement_variable&rev=1590424434&do=diff Retour Preuve : changement de variable Soit $F$ une primitive de $f$ sur $[a,b]$. On a : $$\ds\int_{\alpha}^{\beta}{f(u(t))u'(t)\mathrm{d}t}=\big[(F\circ u)(t)\big]_{\alpha}^{\beta}=F(u(\beta))-F(u(\alpha))=\big[F(x)\big]_{u(\alpha)}^{u(\beta)}=\int_{u(\alpha)}^{u(\beta)}{f(x)\mathrm{d}x}$$ Même principe pour la seconde égalité en partant de la droite avec $\alpha=u^{-1}(a)$ et $\beta=u^{-1}(b)$. text/html 2020-06-11T20:46:46+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:comparaison_integrale_serie&rev=1591908406&do=diff Retour Preuve : théorème de comparaison intégrale/série Pour tout entier $k\geqslant\lfloor a\rfloor+1$, on a: $$\ds\forall t\in[k,k+1],\; f(k+1)\leqslant f(t)\leqslant f(k)$$ $$\ds\int_{k}^{k+1}{f(k+1)\mathrm{d} t}\leqslant\int_{k}^{k+1}{f(t)\mathrm{d} t}\leqslant\int_{k}^{k+1}{f(k)\mathrm{d} t}$$ $$\ds f(k+1)\leqslant\int_{k}^{k+1}{f(t)\mathrm{d} t}\leqslant f(k)$$ Ainsi, pour tout entier $n\geqslant\lfloor a\rfloor+1$, on a: $$\ds\sum_{k=\lfloor a\rfloor+1}^{n}{f(k+1)}\leqslant\sum_{k=\lfl… text/html 2020-05-10T19:31:40+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:condition_necessaire_cv_serie&rev=1589139100&do=diff Retour Preuve : condition nécessaire de convergence d'une série Supposons que la série $\ds\sum_{n\geqslant p}{u_{n}}$ converge et que sa somme vaut $\ell$. Alors, pour tout entier $n\geqslant p+1$, on a : $$\ds u_{n}=\left(\sum_{k=p}^{n}{u_{k}}\right)-\left(\sum_{k=p}^{n-1}{u_{k}}\right)\xrightarrow[n \to +\infty]{}\ell-\ell=0$$ text/html 2020-05-25T08:53:29+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:condition_necessaire_d_existence_d_un_extremum&rev=1590396809&do=diff Retour Preuve : condition nécessaire d'existence d'un extremum Supposons que $f$ admet un extremum local en $A\in\mathcal{O}$, c'est-à-dire que $f(M)-f(A)$ est de signe constant au voisinage de $A$. Le développement limité à l'ordre 1 de $f$ en $A$ est : $$\ds\forall M\in\mathcal{O},\;f(M)=f(A)+\left\langle \nabla f(A),\vv{AM}\right\rangle +\|\vv{AM}\|\varepsilon\left(M\right)$$ avec $\varepsilon(A)=0$ et $\varepsilon$ continue en $A$. Supposons que $\nabla f(A)\ne\vv{0}$$i_{0}$$\mathcal{O}… text/html 2020-05-25T08:54:53+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:condition_suffisante_d_existence_d_un_extremum&rev=1590396893&do=diff Retour Preuve : condition suffisante d'existence d'un extremum Comme $f$ est de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $\mathcal{O}$ et comme $A\in\mathcal{O}$ est un point critique de $f$ alors le développement limité de $f$ à l'ordre 2 au voisinage de $A$ donne : $$\ds f(M)-f(A)=\frac{1}{2}q_{A}(\vv{AM})+\|\vv{AM}\|^{2}\varepsilon(M)$$ avec $\varepsilon(A)=0$ et $\varepsilon$ continue en $A$. On en déduit que, pour $M$ « assez proche » de $A$$f(M)-f(A)$$q_{A}(\vv{AM})$$\alpha=\min\left(\mathrm{Sp}(\n… text/html 2020-05-10T19:31:40+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:convergence_loi_variables_valeurs_dans_z&rev=1589139100&do=diff Retour Preuve : convergence en loi des suites de variables à valeurs dans Z Notons $F_{n}$ (resp. $F$) la fonction de répartition de la variable aléatoire $X_{n}$ (resp. $X$). La variable $X$ étant à valeurs dans $\Z$, on en déduit que $F$ est continue sur $\R\setminus X(\Omega)$ au moins. * $\boxed{\implies}$ : Supposons que $X_{n}\xrightarrow{\mathcal{L}}X$$k\in\Z$$\ds k\pm\frac{1}{2}\in\R\setminus X(\Omega)$$n\geqslant1$$$\ds\mathbb{P}\left(X_{n}=k\right)=F_{n}\left(k+\frac{1}{2}\right)… text/html 2020-05-12T07:53:41+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:convexite_classe_c1&rev=1589270021&do=diff Retour Preuve : convexité et classe C^1 * Supposons que $f$ est convexe sur $I$. Soit $(x,y)\in I^{2}$ tel que $x<y$. Pour tout $h\in\left]0,1\right[$, on a : $$\ds f(hx+(1-h)y)\leqslant hf(x)+(1-h)f(y)$$ $$\ds f(hx+(1-h)y)-f(y)\leqslant hf(x)+(1-h)f(y)-f(y)$$ $$\ds f(y+h(x-y))-f(y)\leqslant h(f(x)-f(y))$$ $$\ds \frac{f(y+h(x-y))-f(y)}{h}\leqslant\frac{h(f(x)-f(y))}{h}=f(x)-f(y)$$ Comme $x-y<0$, on a alors : $$\ds \frac{f(y+h(x-y))-f(y)}{h(x-y)}\geqslant\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$$ d'où, par pas… text/html 2020-05-25T08:37:02+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:convolution_discrete&rev=1590395822&do=diff Retour Preuve : convolution discrète Soit $z\in\R$. Comme $([X=x_{i}])_{i\in\N}$ est un système (presque) complet d'événements, on a : $$\begin{array}{rcl} \mathbb{P}(X+Y=z) & = & \ds\sum_{x\in X(\Omega)}{\mathbb{P}([X=x]\cap[X+Y=z])} \\ & = & \ds\sum_{x\in X(\Omega)}{\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=z-x])} \\ & = & \ds\sum_{\substack{x\in X(\Omega)\\z-x\in Y(\Omega)}}{\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=z-x])} \\ & = & \ds\sum_{\substack{x\in X(\Omega)\\z-x\in Y(\Omega)}}{\mathbb{P}(X=x)\times\mathbb{P}(Y=z-x)}\en… text/html 2020-05-10T19:31:40+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:coordonnees_projete_orthogonal&rev=1589139100&do=diff Retour Preuve : coordonnées du projeté orthogonal * Découle de la définition du projecteur et du fait que l'on a une base orthonormale de $F$. * Soit $A$ la matrice de $p_{F}$ dans la base $\mathcal{B}$. Soit $\vv{x}$ représenté par la colonne $X$ dans la base $\mathcal{B}$. Alors : $$\ds\left(\sum_{i=1}^{m}{U_{i}{}^{t}U_{i}}\right)X=\sum_{i=1}^{m}{U_{i}{}^{t}U_{i}X}=\sum_{i=1}^{m}{U_{i}\left\langle U_{i},X\right\rangle }=\sum_{i=1}^{m}{\left\langle U_{i},X\right\rangle U_{i}}=AX$$L'égali… text/html 2020-05-10T19:31:40+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:corollaire_d_alembert_gauss&rev=1589139100&do=diff Retour Preuve : corollaire de d'Alembert-Gauss Soit $P$ un polynôme de degré au plus $n\geqslant0$ admettant $n+1$ racines deux à deux distinctes $a_1,\dots,a_{n+1}$. * Si $n=0$ alors $P$ est constant donc ne peut admettre de racine sauf s'il est nul. * Si $n>0$ et si $P$ n'est pas le polynôme nul alors $P$$(X-a_1)\dots(X-a_{n+1})$$n+1$ text/html 2020-10-10T20:36:05+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:covariance_cauchy_schwarz&rev=1602362165&do=diff Retour Preuve : inégalité de Cauchy-Schwarz * Si $\mathbb{V}(X)=0$ alors $X$ est une variable certaine et alors $\mathrm{Cov}(X,Y)=0=\mathbb{V}(X)\mathbb{V}(Y)$ donc l'inégalité est vérifiée. * Si $\mathbb{V}(X)\ne0$ alors, pour tout réel $t$, on a : $$\ds0\leqslant\mathbb{V}(tX+Y)=\mathrm{Cov}(tX+Y,tX+Y)=t^{2}\mathbb{V}(X)+2t\mathrm{Cov}(X,Y)+\mathbb{V}(Y)$$La fonction du second degré en la variable réelle $t$ admet donc un discriminant négatif ou nul :$$\ds 4\mathrm{Cov}(X,Y)^{2}-4\math… text/html 2023-08-16T13:56:34+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:cv_borne&rev=1692194194&do=diff Retour Preuve : convergente implique bornée Notons $\ell$ la limite de la suite $u$. Pour $\varepsilon=1$, la définition de la limite donne : $$\exists n_0\in\N\;/\;\forall n\geqslant n_0,\;\ell-1\leqslant u_n \leqslant \ell+1$$ Posons alors : $$m=\min\left\{u_0,u_1,\dots,u_{n_0-1},\ell-1\right\}\qquad\text{et}\qquad M=\max\left\{u_0,u_1,\dots,u_{n_0-1},\ell+1\right\}$$ On obtient immédiatement que : $$\forall n\in\N,\;m\leqslant u_n \leqslant M$$ ce qui conclut l'affaire. text/html 2020-06-22T09:10:04+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:decomposition_matrice_symetrique&rev=1592817004&do=diff Retour Preuve : décomposition d'une matrice symétrique Soit $(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})$ les valeurs propres de $A$ (non nécessairement deux à deux distinctes) et $(X_{1},\dots,X_{n})$ des vecteurs propres associés supposés tous unitaires. On note $P$ la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs propres ($P$$P$$$\begin{array}{rcl} A & = & \ds P\begin{pmatrix}\lambda_{1} & & (0)\\ & \ddots\\ (0) & & \lambda_{n}\end{pmatrix}{}^t\!P \\ & = & \ds P\left[\sum_{i… text/html 2020-05-25T08:28:08+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:dimension_orthogonal&rev=1590395288&do=diff Retour Preuve : dimension de l'orthogonal * Soit $\vv{x}\in F\times F^{\perp}$. Alors : $$\ds\left\langle \vv{x},\vv{x}\right\rangle =0$$ donc $\vv{x}=\vv{0_E}$ et la somme est bien directe. * Soit $(\vv{e_1},\dots,\vv{e_p})$ une base orthonormale de $F$. On peut compléter cette base de $F$ en une base orthonormale $(\vv{e_1},\dots,\vv{e_p},\vv{e_{p+1}},\dots,\vv{e_n})$ de $E$. Alors le sous-espace $G=\mathrm{Vect}(\vv{e_{p+1}},\dots,\vv{e_n})$ est un supplémentaire de $F$ inclus dans $F^… text/html 2020-05-12T06:24:21+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:division_euclidienne&rev=1589264661&do=diff Retour Preuve : division euclidienne Existence C'est la mise en pratique de la technique dite de la division euclidienne selon les puissances décroissantes. Soit donc $B$ un polynôme non nul. * Pour tout polynôme $A$ tel que $\deg(A)<\deg(B)$, on vérifie aisément que $Q=0$$R=A$$\deg(A)\geqslant\deg(B)$$n$$A$$\mathcal{H}(n)$$A$$n$$(Q,R)$$A=BQ+R$$\deg(R)<\deg(B)$$n<\deg(B)$$n\geqslant\deg(B)$$\mathcal{H}(n)$$A$$n+1$$\deg(A)\leqslant n$$\mathcal{H}(n)$$\deg(A)=n+1$$$A=a_{n+1}X^{n+1}+A_{1}\qq… text/html 2020-05-10T19:31:41+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:encadrement_forme_quadratique&rev=1589139101&do=diff Retour Preuve : encadrement d'une forme quadratique L'ensemble $S=\left\{ x\in\R^{n}\mid\|x\|=1\right\}$ est fermé (définition du cours car la norme est continue sur $\R^n$) et borné (définition de l'ensemble). La fonction $\ds\vv{x}\mapsto q(\vv{x})$ est continue sur $S$ comme fonction polynomiale. Le théorème précédent s'applique :$$\ds\exists(\alpha,\beta)\in\R^2\;/\;\forall\vv{x}\in S,\;\alpha\leqslant q(\vv{x})\leqslant\beta$$$\alpha$$\beta$$\vv{x}\ne\vv{0}$$q(\lambda\vv{x})=\lambda^2q(\… text/html 2020-05-10T19:31:41+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:endomorphisme_diagonalisable_corollaire&rev=1589139101&do=diff Retour Preuve : conséquences du caractère diagonalisable * Puisque $u$ est diagonalisable alors il existe une base de $E$ constituée exclusivement de vecteur propres de $u$. La matrice de $u$ dans cette base est alors, de manière évidente, diagonale et ses coefficients diagonaux sont les valeurs propres de $u$$u$$n$$n$$E$$n$$E$$u$ text/html 2020-06-22T08:33:50+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:endomorphisme_diagonalisable&rev=1592814830&do=diff Retour Preuve : caractérisation d'un endomorphisme diagonalisable * $\boxed{1\implies2}$ : La somme des sous-espaces propres est déjà directe. La relation de dimensions permet alors de conclure. * $\boxed{2\implies3}$ : Par concaténation des bases de $E_{\lambda}(u)$ puisque chaque vecteur non nul de $E_{\lambda}(u)$$\boxed{3\implies1}$$E$$u$$E_{\lambda}(u)$$E$$$\dim(E)\leqslant\sum_{\lambda\in\mathrm{Sp(u)}}{\dim(E_{\lambda}(u))}$$$$\ds\sum_{\lambda\in\mathrm{Sp(u)}}{\dim(E_{\lambda}(u))… text/html 2020-05-10T19:31:41+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:equation_differentielle&rev=1589139101&do=diff Retour Preuve : équation différentielle du premier ordre * Si $f(t)=K\mathrm{e}^{-U(t)}$ pour tout $t$ dans $I$ alors $f$ est bien solution sur $I$ (calcul immédiat). * Si $f$ est solution sur $I$ de l'équation différentielle alors : $$\ds\forall t\in I,\; \mathrm{e}^{U(t)}f'(t)+u(t)\mathrm{e}^{U(t)}f(t)=0$$$$\ds\forall t\in\R,\;(\exp(U)f)'(t)=0$$$$\ds\exists K\in\R\;/\;\forall t\in I,\; \mathrm{e}^{U(t)}f(t)=K$$donc on a bien : $$ text/html 2020-05-10T19:31:41+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:equivalent_usuel_suite&rev=1589139101&do=diff Retour Preuve : équivalents usuels * Dans chaque cas, sauf pour le cosinus, le quotient par $u_n$ correspond à la limite du taux de variation en 0, donc au nombre dérivé en 0. * Pour le cosinus, c'est un peu plus subtil : $$\begin{array}{rcl} \cos(x) & = & 1-2\sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right) \\ \cos(x)-1 & = & -2\sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right) \\ \cos(x)-1 & \underset{x\to0}{\sim} & \ds -2\left(\frac{x}{2}\right)^2 = -\frac{x^2}{2} \\ \cos(u_n)-1 & \underset{n\to+\infty}{\s… text/html 2020-05-10T19:31:41+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:esperance_variance_loi_usuelle_densite&rev=1589139101&do=diff Retour Preuve : espérance et variance des lois usuelles à densité Toutes les intégrales qui suivent sont absolument convergentes (intégrales sur un segment ou bien se ramenant à la fonction $\Gamma$ via un changement de variable). Loi uniforme Pour tout entier naturel $k\geqslant1$$$\begin{array}{rcl} \mathbb{E}(X^k) & = & \ds\int_{-\infty}^{+\infty}{t^{k}\frac{1}{b-a}1\!\!1_{[a,b]}(t)\mathrm{d}t}\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}{t^{k}\mathrm{d}t} \\ & = & \ds\frac{1}{b-a}\left[\frac{t^{k+1}}{k+1}\… text/html 2024-02-24T15:49:40+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:existe_poly_annul&rev=1708789780&do=diff Retour Preuve : existence d'un polynôme annulateur en dimension finie Posons $n=\dim(E)$. Soit $f\in\mathcal L(E)$. On sait que : $$\dim(\mathcal L(E))=n^{2}$$Alors : $$\left(\text{Id}_{E},f,f^{2},\dots,f^{n^{2}}\right)$$est une famille liée dans $\mathcal L(E)$ de $n^{2}+1$ vecteurs (ici des endomorphismes de $E$). Alors : $$\exists(a_{0},\dots,a_{n^{2}})\in\K^{n^{2}+1}\setminus\{(0,\dots,0)\}\;/\; a_{0}\text{Id}_{E}+a_{1}f+\dots+a_{n^{2}}f^{n^{2}}=\Theta_{E}$$On en déduit que $P=a_{0}+a_{1}… text/html 2020-05-10T19:31:41+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:existence_borne_superieure&rev=1589139101&do=diff Retour Preuve : existence de la borne supérieure * Construction d'un candidat $\ell$ pour la borne supérieure. Soit $\mathcal{H}(n)$ la proposition : $$\ds\exists(x_{0},\dots,x_{n},y_{0},\dots,y_{n})\in\R^{2n+2}\;/\;\left\{ \begin{array}{l}x_{0}\leqslant\dots\leqslant x_{n}\leqslant y_{n}\leqslant\dots\leqslant y_{0} \\ \ds y_{n}-x_{n}=\frac{y_{0}-x_{0}}{2^{n}} \end{array}\right.$$Comme $A$ est non vide, choisissons $x_{0}\in A$. Comme $A$ est majorée, choisissons un majorant $y_{0}$ de $A$… text/html 2024-02-24T15:56:20+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:existence_fonction_gamma&rev=1708790180&do=diff Retour Preuve : existence de l'intégrale Gamma * Convergence en $+\infty$ : On intègre une fonction positive. De plus, pour tout réel $x$, on a : $$\ds \mathrm{e}^{-t}\underset{t\to+\infty}{=}o\left(\frac{1}{t^{x+1}}\right)\qquad\text{donc}\qquad t^{x-1}\mathrm{e}^{-t}\underset{t\to+\infty}{=}o\left(\frac{1}{t^{2}}\right)$$Or, l'intégrale de Riemann $\ds\int_{1}^{+\infty}{\frac{\mathrm d t}{t^{2}}}$ est convergente donc l'intégrale $\ds\int_{1}^{+\infty}{t^{x-1}\mathrm{e}^{-t}\mathrm d t}$ … text/html 2024-02-24T15:47:38+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:existence_line&rev=1708789658&do=diff Retour Preuve : existence et unicité d'une application linéaire * Existence. L'application $u\colon E\to E$ définie par : $$u\left(\alpha_{1}\vv{x_1}+\dots+\alpha_{n}\vv{x_n}\right)=\alpha_{1}\vv{y_1}+\dots+\alpha_{n}\vv{y_n}$$ convient (elle est bien linéaire), ce qui prouve l'existence. * Unicité. Soit $v$ une application linéaire qui vérifie les mêmes relations. Alors : $$\vv{x_1}\in\mathrm{Ker}(v-u),\;\dots,\;\vv{x_n}\in\mathrm{Ker}(v-u)$$$$E=\mathrm{Vect}\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_n}… text/html 2020-05-10T19:31:41+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:existence_moments_densite&rev=1589139101&do=diff Retour Preuve : existence des moments d'ordres inférieurs Soit $i\in\llbracket1,k-1\rrbracket$. Soit $a_{1},\dots,a_{n}$ les points de discontinuité (éventuels) de $f$ sur $\R$. Soit $b>\max\left\{ \left|a_{1}\right|,\dots,\left|a_{n}\right|\right\}$. * Au voisinage de $+\infty$, on a : $$\ds t^{i}f(t)=o(t^{k}f(t))$$donc la convergence absolue de $\ds\int_{b}^{+\infty}{t^{k}f(t)\mathrm{d}t}$ prouve la convergence absolue de $\ds\int_{b}^{+\infty}{t^{i}f(t)\mathrm{d}t}$. * La convergence … text/html 2020-06-22T08:48:06+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:expression_derivee_seconde_directionnelle&rev=1592815686&do=diff Retour Preuve : expression de la dérivée seconde directionnelle Posons $\vv{u}=(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})\in\R^n$ un vecteur unitaire. On note $U$ la matrice colonne des coordonnées de $\vv{u}$ dans la base canonique de $\R^n$. Pour tout réel $t$ tel que $A+t\vv{u}\in\mathcal{O}$, on a : $$g(t)=f(A+t\vv{u})=f(a_{1}+t\alpha_{1},\dots,a_{n}+t\alpha_{n})$$ $$\ds g'(t)=\sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i}\partial_{i}f(a_{1}+t\alpha_{1},\dots,a_{n}+t\alpha_{n})}=\sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i}\partial_{i}f(A+t\… text/html 2020-05-25T08:18:04+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:expression_matricielle_produit_scalaire&rev=1590394684&do=diff Retour Preuve : expression matricielle du produit scalaire On sait que : $$\ds\vv{x}=\sum_{i=1}^{n}{\left\langle \vv{x},\vv{e_i}\right\rangle \vv{e_i}}\qquad\text{et}\qquad\vv{y}=\sum_{i=1}^{n}{\left\langle \vv{y},\vv{e_i}\right\rangle \vv{eji}}$$ donc : $$\ds X=\begin{pmatrix}\left\langle \vv{x},\vv{e_1}\right\rangle \\ \vdots \\ \left\langle \vv{x},\vv{e_n}\right\rangle \end{pmatrix} \qquad\text{et}\qquad Y=\begin{pmatrix}\left\langle \vv{y},\vv{e_1}\right\rangle \\ \vdots \\ \left\langle \… text/html 2020-05-10T19:31:41+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:formule_d_euler&rev=1589139101&do=diff Retour Preuve : formules d'Euler De $\mathrm{e}^{i\theta}\pm \mathrm{e}^{-i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)\pm\cos(\theta)\mp i\sin(\theta)$, on tire rapidement les égalités escomptées par somme et différence de ces deux égalités. text/html 2020-10-10T20:16:42+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:formule_huygens&rev=1602361002&do=diff Retour Preuve : formule de Koenig-Huygens * On suppose que $X$ et $Y$ admettent une espérance. On a: $$\left(X-\E(X)\right)\left(Y-\E(Y)\right)=XY-\E(Y)X-\E(X)Y+\E(X)\E(Y)1\!\!1$$ donc, par linéarité de l'espérance, $\left(X-\E(X)\right)\left(Y-\E(Y)\right)$ admet une espérance si et seulement si $XY$ admet une espérance. Dans ce cas, on a: $$\begin{array}{rcl} \mathrm{Cov}(X,Y) & = & \mathbb{E}\left(XY-\mathbb{E}(Y)X-\mathbb{E}(X)Y+\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)1\!\!1\right) \\ & = & \mathbb{… text/html 2024-02-21T21:18:44+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:gram_schmidt&rev=1708550324&do=diff Retour Preuve : procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt Soit $\mathcal H(k)$ la proposition : “il existe $(x_{1},\dots,x_{k})\in E^{k}$ orthonormale telle que : $\forall i\in\llbracket1,k\rrbracket,\;\mathrm{Vect}(x_{1},\dots,x_{i})=\mathrm{Vect}(e_{1},\dots,e_{i})$”. * $k=1$ : comme la famille $(e_{1},\dots,e_{p})$ est libre alors $e_{1}\neq0_{E}$ donc $\ds x_{1}=\frac{1}{\|e_{1}\|}e_{1}$ est, à lui seul, une famille orthonormale qui convient. * Supposons que $\mathcal H(k)$$k\in\l… text/html 2020-05-11T21:38:18+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:grassmann&rev=1589233098&do=diff Retour Preuve : formule de Grassmann Soit $\ds\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p}\right)$ une base de $F\cap G$. C'est en particulier une famille libre de $F$ et une famille libre de $G$. On la complète en une base $\ds\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p},\vv{y_{p+1}},\dots,\vv{y_{p+r}}\right)$ de $F$ ainsi qu'en une base $\ds\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p},\vv{z_{p+1}},\dots,\vv{z_{p+s}}\right)$ de $G$. On a ainsi : $$\ds\dim(F\cap G)=p\qquad\dim(F)=p+r\qquad\dim(G)=p+s$$ On va montrer que : $$\ds\left(\vv… text/html 2020-05-10T19:31:41+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:inegalite_convexite_generalisee&rev=1589139101&do=diff Retour Preuve : inégalité de convexité généralisée Soit $\mathcal{H}(n)$ la proposition : pour tout $(x_{1},\dots,x_{n})\in I^{n}$, pour tout $(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\in[0,1]^{n}$ tel que $\lambda_{1}+\dots+\lambda_{n}=1$, on a $f(\lambda_{1}x_{1}+\dots+\lambda_{n}x_{n})\leqslant\lambda_{1}f(x_{1})+\dots+\lambda_{n}f(x_{n})$. La proposition est trivialement vraie pour $n=1$ puisque $\lambda_{1}=1$. La proposition est vraie pour $n=2$ par définition de la convexité. Soit $n\geqslant… text/html 2020-05-10T19:31:42+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:integration_par_parties&rev=1589139102&do=diff Retour Preuve : intégration par parties Soit $(a,b)\in I^{2}$. Les fonctions $u'v$ et $uv'$ sont continues sur $I$ donc les intégrales $\ds\int_{a}^{b}{u'v}$ et $\ds\int_{a}^{b}{uv'}$ existent. Par linéarité de l'intégrale, on a : $$\ds\forall t\in[a,b],\;(u'v)(t)=(uv)'(t)-(uv')(t)$$donc : $$\begin{array}{rcl} \ds\int_{a}^{b}{u'(t)v(t)\mathrm{d}t} & = & \ds\int_{a}^{b}{(uv)'(t)\mathrm{d}t}-\int_{a}^{b}{u(t)v'(t)\mathrm{d}t} \\ & = & \ds u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int_{a}^{b}{u(t)v'(t)\mathrm… text/html 2020-05-12T06:36:38+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:intersection_de_tribus&rev=1589265398&do=diff Retour Preuve : intersection de tribus * Soit $I$ un ensemble. Soit $(\mathcal{A}_{i})_{i\in I}$ une famille de tribus de $\Omega$. Notons $\ds\mathcal{A}=\bigcap_{i\in I}{\mathcal{A}_{i}}$. Comme $\Omega\in\mathcal{A}_{i}$ pour tout $i\in I$, on en déduit que : $$\ds\Omega\in\mathcal{A}$$ Soit $A\in\mathcal{A}$. Alors : $$\ds\forall i\in I,\;A\in\mathcal{A}_{i}\qquad\text{donc}\qquad\forall i\in I,\;\bar{A}\in\mathcal{A}_{i}$$d'où : $\ds\bar{A}\in\mathcal{A}$. Soit $(A_{n})_{n\in\N}$ une s… text/html 2020-05-10T21:13:14+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:intervalle_confiance_esperance&rev=1589145194&do=diff Retour Preuve : intervalle de confiance de l'espérance Commençons par quelques résultats intermédiaires utiles pour la suite. * Lemme 1 : Pour tout $\lambda\in\R$, on a : $T_{n}\xrightarrow{\mathcal{P}}\lambda\iff T_{n}\xrightarrow{\mathcal{L}}\lambda$. Preuve : Supposons que $T_{n}\xrightarrow{\mathcal{P}}\lambda$. Soit $x\in\R$ tel que $x\ne\lambda$. Si $x>\lambda$ alors, en posant $\ds\varepsilon=\frac{x-\lambda}{2}>0$, on a : $$\ds1\geqslant F_{T_{n}}(x)=\mathbb{P}\left(T_{n}\leqslant … text/html 2023-12-10T21:53:57+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:invariance_trace_par_similitude&rev=1702245237&do=diff Retour Preuve : invariance de la trace par similitude On utilise l'associativité du produit matriciel et le résultat de l'exemple fondamental hors programme : $$\mathrm{tr}\left(P^{-1}AP\right)=\mathrm{tr}\left((P^{-1}A)P\right)=\mathrm{tr}\left(P(P^{-1}A)\right)=\mathrm{tr}\left((PP^{-1})A\right)=\mathrm{tr}(I_{n}A)=\mathrm{tr}(A)$$ text/html 2020-05-10T19:31:42+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:lien_cv_suite&rev=1589139102&do=diff Retour Preuve : convergence de suites et de de séries Pour tout entier $n\geqslant p$, on a : $$\ds\sum_{k=p}^{n}{(u_{k+1}-u_{k})}=u_{n+1}-u_{p}$$d'où l'équivalence de convergence. text/html 2020-06-08T16:47:36+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:lien_integrale_primitive&rev=1591634856&do=diff Retour Preuve : lien entre intégrale et primitive Soit $a\in I$. Alors, par relation de Chasles puis formule de la moyenne et théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel $x\in I\setminus\{a\}$ on a : $$\ds\frac{F(x)-F(a)}{x-a}=\frac{1}{x-a}\int_{a}^{x}{f(t)\mathrm{d}t}=f(c_{a,x})$$ où $c_{a,x}\in\left]a,x\right[$ (ou bien $\left]x,a\right[$). Comme $c_{a,x}\xrightarrow[x\to a]{}a$ (par théorème d'encadrement) et comme $f$ est continue en $a$$$\ds\frac{F(x)-F(a)}{x-a}\xrightarrow[x\to … text/html 2020-05-12T06:02:30+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:lien_systeme_matrice&rev=1589263350&do=diff Retour Preuve : solution d'un système et matrice inversible * Supposons que la matrice $A$ est inversible. Pour tout vecteur $B$, on a alors : $$\ds AX=B\iff X=A^{-1}B$$donc le système admet une unique solution. * Supposons que, pour tout vecteur $B$, le système $AX=B$ admet une unique solution. On note $(E_{1},\dots,E_{n})$$\mathcal{M}_{n,1}(\R)$$i\in[\![1,n]\!]$$AX=E_{i}$$C_{i}$$A'$$\mathcal{M}_{n}(\R)$$C_{1},\dots,C_{n}$$$\ds AA'=A(C_{1}\dots C_{n})=(E_{1}\dots E_{n})=I_{n}$$$A'A=I_{n}… text/html 2020-05-10T19:31:42+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:lien_valeur_propre_endomorphisme_matrice&rev=1589139102&do=diff Retour Preuve : lien élément entre propre d'un endomorphisme et élément propre d'une matrice * Soit $\vv{x}\in E$ non nul et $\lambda\in\K$. En notant $X$ la matrice-colonne des coordonnées de $\vv{x}$ dans la base $\mathcal{B}_{E}$, on a : $$\ds u(\vv{x})=\lambda\vv{x}\iff AX=\lambda X$$ * Le reste en découle. text/html 2020-05-10T19:31:42+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:lien_variance_covariance&rev=1589139102&do=diff Retour Preuve : lien covariance/variance * On a : $$\begin{array}{rcl} \mathbb{V}(X+Y) & = & \mathrm{Cov}(X+Y,X+Y) \\ & = & \mathrm{Cov}(X,X)+\mathrm{Cov}(X,Y)+\mathrm{Cov}(Y,X)+\mathrm{Cov}(Y,Y) \\ & = & \mathbb{V}(X)+2\mathrm{Cov}(X,Y)+\mathbb{V}(Y) \end{array}$$ * Si $X$ et $Y$ sont indépendantes alors $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$ d'où le résultat. text/html 2020-05-12T06:40:01+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:limite_par_composition&rev=1589265601&do=diff Retour Preuve : Limite par composition On effectue les démonstrations dans le cas de limites finies, il suffit d'adapter lorsque l'une, au moins, des limites est infinie. * Soit $\varepsilon>0$. Comme $\ds\lim_{t\to\ell'}{g(t)}=\ell''$ alors : $$\ds\exists\varepsilon'>0\;/\;\forall t\in\left[\ell'-\varepsilon',\ell'+\varepsilon'\right],\;\left|g(t)-\ell''\right|\leqslant\varepsilon\qquad(\iff g(t)\in\left[\ell''-\varepsilon,\ell''+\varepsilon\right])$$ Comme $\ds\lim_{x\to\ell}{f(x)}=\ell'… text/html 2020-05-10T19:31:42+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:linearite_esperance_densite&rev=1589139102&do=diff Retour Preuve : linéarité de l'espérance par densité On applique le théorème de transfert. Sous réserve de converge absolue : $$\begin{array}{rcl} \mathbb{E}(Y) & = & \ds\mathbb{E}(aX+b)=\int_{-\infty}^{+\infty}{(at+b)f_{X}(t)\mathrm{d}t} \\ & = & \ds a\int_{-\infty}^{+\infty}{tf_{X}(t)\mathrm{d}t}+b\int_{-\infty}^{+\infty}{f_{X}(t)\mathrm{d}t}=a\mathbb{E}(X)+b1=a\mathbb{E}(X)+b \end{array}$$ Les intégrales sont bien absolument convergentes donc $Y$ admet une espérance lorsque $X$ en admet u… text/html 2023-12-10T21:40:31+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:linearite_trace&rev=1702244431&do=diff Retour Preuve : linéarité de la trace Soient $A$ et $B$ deux matrices carrées d'ordre $n$. Soit $(\lambda,\mu)\in\R^2$. On a : $$\ds\mathrm{tr}(\lambda A+\mu B)=\sum_{k=1}^{n}{(\lambda a_{i,i}+\mu b_{i,i})}=\lambda\left(\sum_{k=1}^{n}{a_{i,i}}\right)+\mu\left(\sum_{k=1}^{n}{b_{i,i}}\right)=\lambda\mathrm{tr}(A)+\mu\mathrm{B}$$ text/html 2020-05-10T19:31:42+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:loi_faible_grands_nombres&rev=1589139102&do=diff Retour Preuve : loi faible des grands nombres Par linéarité de l'espérance, chaque $\ds Y_{n}=\frac{1}{n}\left(X_{1}+\dots+X_{n}\right)$ admet une espérance et $\mathbb{E}(Y_{n})=m$. Comme les $X_{k}$ sont mutuellement indépendantes (ou deux à deux non corrélées dans le cas discret) alors chaque $Y_{n}$ admet une variance et : $$\ds\mathbb{V}(Y_{n})=\frac{1}{n^{2}}\left(\mathbb{V}(X_{1})+\dots+\mathbb{V}(X_{n})\right)=\frac{\sigma^{2}}{n}$$Soit $\varepsilon>0$$$\ds0\leqslant\mathbb{P}\left(\l… text/html 2024-06-11T20:26:59+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:loi_sans_memoire_densite&rev=1718137619&do=diff Retour Preuve : loi sans mémoire à densité Soit $X$ une variable aléatoire à densité dont $f$ est une densité de probabilité. Supposons que que la loi de X est une loi exponentielle ($X\hookrightarrow\mathcal E(\lambda)$ avec $\lambda>0$) Comme $F_X(t)=1-\mathrm{e}^{-\lambda t}$ pour tout $t\geqslant0$ alors $\mathbb P(X>t)=\mathrm{e}^{-\lambda t}>0$ pour tout $t\geqslant0$. Soit $(x,y)\in\left[0,+\infty\right[^{2}$. Alors : $$\ds\mathbb P_{[X>y]}(X>x+y)=\frac{\mathbb P(X>x+y)}{\mathbb P(… text/html 2021-04-28T21:37:39+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:markov&rev=1619645859&do=diff Retour Preuve : Inégalités de Markov Cas discret * Soit $X$ une variable aléatoire discrète infinie positive et admettant une espérance. Soit $a>0$. Comme $X$ admet une espérance, la série $\ds\sum_{k\geqslant a}{k\mathbb{P}(X=k)}$ converge et on a: $$\ds a\mathbb{P}(X\geqslant a)=\sum_{\substack{k\in\N\\k\geqslant a}}{a\mathbb{P}(X=k)}\leqslant\sum_{\substack{k\in\N\\k\geqslant a}}{k\mathbb{P}(X=k)}$$ Comme $X$ est à valeurs positives, on en déduit que : $$\ds a\mathbb{P}(X\geqslant a)\le… text/html 2023-12-10T21:51:45+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:matrices_inversibles_evidentes&rev=1702245105&do=diff Retour Preuve : matrices inversibles à vue d'oeil * Supposons que $ad-bc\ne0$. On pose alors : $$\ds C=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$Un calcul immédiat assure que $AC=CA=I$ donc que $A$ est inversible et que $\ds\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ est son inverse. Supposons que $ad-bc=0$. Alors les colonnes de $A$ sont liées donc $\mathrm{rg}(A)<2$ et ainsi $A$ n'est pas inversible. text/html 2024-02-29T15:24:52+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:moindres_carres_matriciel&rev=1709220292&do=diff Retour Preuve : méthode matricielle des moindres carrés L'espace vectoriel $\mathcal M_{n,1}(\R)$ est muni de son produit scalaire canonique. * Soit $f\colon\mathcal M_{p,1}(\R)\to\mathcal M_{n,1}(\R),\; X\mapsto AX$. Posons $F=\text{Im}(f)\subset\mathcal M_{n,1}(\R)$ et considérons la projection orthogonale $p_{F}\in\mathcal L(\mathcal M_{n,1}(\R))$ sur $F$. Comme $A$ est la matrice de $f$ dans les bases canoniques respectives de $\mathcal M_{p,1}(\R)$$\mathcal M_{n,1}(\R)$$$\dim(F)=\dim(… text/html 2020-05-10T19:31:42+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:moindres_carres&rev=1589139102&do=diff Retour Preuve : Méthode des moindres carrés On suppose que $\sigma(X)^2=\overline{X^2}-\overline{X}^2\ne0$. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^2$ par : $$\ds f(a,b)=\sum_{i=1}^{n}{f_i(ax_i+b-y_i)^2}$$ C'est une fonction polynôme de degré 2 que l'on peut écrire sous la forme :$$\ds f(a,b)=\left[\sum_{i=1}^{n}{f_i x_i^2}\right]a^2+b^2+2\left[\sum_{i=1}^{n}{f_i x_i}\right]ab-2\left[\sum_{i=1}^{n}{f_i x_i y_i}\right]a-2\left[\sum_{i=1}^{n}{f_i y_i}\right]b+\left[\sum_{i=1}^{n}{f_i y_i^… text/html 2020-05-10T19:31:43+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:monotone&rev=1589139103&do=diff Retour Preuve : limite des suites monotones Uniquement dans le cas où la suite est croissante Cas de convergence * Si $(u_{n})$ est convergente alors $(u_{n})$ est bornée donc majorée. * Supposons maintenant que $(u_{n})$ est majorée et posons $A=\{u_{n}\,|\, n\in\N\}$. Cet ensemble est non vide et majoré donc admet une borne supérieure $\ell$$\varepsilon>0$$n_{0}\in\N$$|u_{n_{0}}-\ell|\leqslant\varepsilon$$(u_{n})$$$\forall n\geqslant n_{0},\;|u_{n}-\ell|=\ell-u_{n}\leqslant\ell-u_{n_{… text/html 2020-05-10T19:31:43+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:nombre_solutions_systeme&rev=1589139103&do=diff Retour Preuve : nombre de solutions d'un système * Si le système homogène admet une solution $X$ alors, par linéarité, $\lambda X$ est aussi une solution pour tout réel $\lambda$. Si $X$ et $Y$ sont deux solutions du système homogène alors, par linéarité, $X+Y$ est aussi une solution du système. Il y a donc bien soit aucune solution, soit une infinité de solutions au système linéaire homogène et l'ensemble des solutions est un sous-espace vectoriel de $\R^p$$X_0$$X$$$A(X-X_0)=AX-AX_0=B-B=\T… text/html 2020-06-05T08:13:22+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:noyau_et_inj&rev=1591344802&do=diff Retour Preuve : noyau et injectivité Noyau et image sont des sous-espaces * Comme $f(\vv{0_E})=\vv{0_F}$ alors $\vv{0_E}\in\mathrm{Ker}(f)$ et $\vv{0_F}\in\mathrm{Im}(f)$ donc ces deux ensembles sont non vide. * Soit $(\vv{x},\vv{y})\in\left(\mathrm{Ker}(f)\right)^{2}$ et $(\lambda,\mu)\in\K^{2}$. Alors : $$f(\lambda\vv{x}+\mu\vv{y})=\lambda f(\vv{x})+\mu f(\vv{y})=\lambda\vv{0_F}+\mu\vv{0_F}=\vv{0_F}$$ donc $\lambda\vv{x}+\mu\vv{y}\in\mathrm{Ker}(f)$ ce qui prouve que $\mathrm{Ker}(f)$ … text/html 2020-05-10T19:31:43+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:orthogonalite_sous_espaces_propres&rev=1589139103&do=diff Retour Preuve : orthogonalité des sous-espaces propres Soit $\lambda$ et $\mu$ deux valeurs propres distinctes de $u$. Soit $x\in E_{\lambda}(u)$ et $y\in E_{\mu}(u)$. Alors : $$\begin{array}{rcl} \ds\left\langle u(x),y\right\rangle = \left\langle x,u(y)\right\rangle & \iff & \ds\left\langle \lambda x,y\right\rangle = \left\langle x,\mu y\right\rangle \\ & \iff & \ds(\lambda-\mu)\left\langle x,y\right\rangle = 0 \\ & \iff & \ds\left\langle x,y\right\rangle = 0 \end{array}$$puisq… text/html 2020-05-10T19:31:43+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:pair_impair&rev=1589139103&do=diff Retour Preuve : suites extraites des rangs pairs et impairs de même limite Uniquement en cas de convergence Notons $\ell$ la limite commune aux deux suites extraites des rangs pairs et impairs. Soit $\varepsilon>0$. On écrit la définition de la limite dans les deux cas avec le même réel $\varepsilon$$$\exists n_1\in\N\;/\;\forall n\geqslant n_1,\;|u_{2n}-\ell|\leqslant\varepsilon$$$$\exists n_2\geqslant n_1\;/\;\forall n\geqslant n_2,\;|u_{2n+1}-\ell|\leqslant\varepsilon$$$$\forall n\geqslan… text/html 2020-05-10T19:31:43+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:positivite_esperance_densite&rev=1589139103&do=diff Retour Preuve : positivité de l'espérance Soit $f$ une densité de $X$. Comme $X$ est à valeurs positives alors $f$ peut être choisie nulle sur $]-\infty,0[$. Alors, si $X$ admet une espérance, on a : $$\ds\mathbb{E}(X)=\int_{0}^{+\infty}{tf(t)\mathrm{d}t}\geqslant0$$ text/html 2020-05-10T19:31:43+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:proba_compo&rev=1589139103&do=diff Retour Preuve : formule des probabilités composées Soit $\mathcal H(n)$ la proposition : « pour toute famille $(B_{1},\dots,B_{n})$ d'événements tels que $\mathbb P(B_{1}\cap\dots\cap B_{n-1})\neq0$, on a $\mathbb P(B_{1}\cap\dots\cap B_{n})=\mathbb P(B_{1})\times\mathbb P_{B_{1}}(B_{2})\times\dots\times\mathbb P_{B_{1}\cap\dots\cap B_{n-1}}(B_{n})$ ». La définition de la probabilité conditionnelle assure que la proposition $\mathcal H(2)$ est vraie. Soit $n\geqslant2$ tel que la propositio… text/html 2020-05-10T19:31:43+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:proba_totales&rev=1589139103&do=diff Retour Preuve : formule des probabilités totales On sait que : $$\ds B = B\cap\Omega = B\cap\left(\bigcup_{k=1}^{+\infty}A_k\right) = \bigcup_{k=1}^{+\infty}(B\cap A_k)$$ Cette réunion étant formée d'événements 2 à 2 incompatibles puisque les $A_k$ le sont, on en déduit que : $$\ds \mathbb P(B) = \sum_{k=1}^{+\infty}\mathbb P(B\cap A_k)$$ Dans le cas où les $A_k$ sont tous de probabilité non nulle, on a aussi : $$\ds \mathbb P(B) = \sum_{k=1}^{+\infty}\mathbb P(A_k)\mathbb P_{A_k}(B)$$… text/html 2020-05-25T08:28:53+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:produit_scalaire_et_vecteur_nul&rev=1590395333&do=diff Retour Preuve : produit scalaire et vecteur nul Pour tout $\vv{x}\in E$, on a : $$\ds\varphi(\vv{x},\vv{0_E})=\varphi(\vv{x},\vv{x}-\vv{x})=\varphi(\vv{x},\vv{x})-\varphi(\vv{x},\vv{x})=0$$ text/html 2020-06-22T09:04:57+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:projecteur_orthogonal_symetrique&rev=1592816697&do=diff Retour Preuve : projecteur symétrique On pose : $F=\mathrm{Im}(p)$ et $G=\mathrm{Ker}(p)$. On sait que $E=F\oplus G$. * $\boxed{\implies}$ : On suppose que $p$ est un endomorphisme symétrique. On montre que $F\perp G$. Soit $\vv{x}\in F$ et $\vv{y}\in G$. On sait que : $\vv{x}=p(\vv{x})$ et $\vv{0_E}=p(\vv{y})$. Alors : $$\ds\left\langle \vv{x},\vv{y}\right\rangle =\left\langle p(\vv{x}),\vv{y}\right\rangle =\left\langle \vv{x},p(\vv{y})\right\rangle =\left\langle \vv{x},\vv{0_E}\right\ran… text/html 2020-05-10T19:31:43+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:propriete_borne_superieure&rev=1589139103&do=diff Retour Preuve : propriété de la borne supérieure Soit $\varepsilon>0$. * Si $\sup(A)\in A$ alors $x=\sup(A)$ convient. * Supposons maintenant que $\sup(A)\not\in A$. Si $\sup(A)-x>\varepsilon$ pour tout $x\in A$ alors $\sup(A)-\varepsilon$ est un majorant de $A$ strictement inférieur à $\sup(A)$ ce qui est absurde. Ainsi : $$\ds\exists x\in A\;/\;\varepsilon\geqslant\sup(A)-x=|x-\sup(A)|$$ text/html 2020-05-12T06:22:56+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:propriete_derivation_des_polynomes&rev=1589264576&do=diff Retour Preuve : propriétés de la dérivation des polynômes Formule de Leibniz Soit $\mathcal H(n)$ la proposition : pour tout couple $(P,Q)$ de polynômes ... Au rang $n=0$, les deux membres sont égaux à $PQ$ pour tout couple $(P,Q)$ de polynômes. Au rang $n=1$, il s'agit d'effectuer les calculs des coefficients des deux membres et de constater leur égalité (calculs pénibles !). Soit maintenant $n\geqslant0$$\mathcal H(n)$$(P,Q)$$$\begin{array}{rcl} (PQ)^{(n+1)} & = & \ds \left((PQ)^{(n)}\rig… text/html 2020-08-30T21:37:38+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:propriete_des_tribus&rev=1598823458&do=diff Retour Preuve : propriétés des tribus * Comme $\Omega\in\mathcal{A}$, par stabilité du complémentaire, on a : $$\ds\varnothing\in\mathcal{A}$$ * Soit $(A,B)\in\mathcal{A}^{2}$. On pose : $A_{0}=A$, $A_{1}=B$ et, pour tout entier $n\geqslant2$, $A_{n}=\varnothing$. Alors : $$\ds A\cup B=\bigcup_{n\in\N}{A_{n}}\in\mathcal{A}$$On en déduit que : $$\ds\bar{A}\in\mathcal{A},\quad\bar{B}\in\mathcal{A},\quad\bar{A}\cup\bar{B}\in\mathcal{A},\quad A\cap B=\overline{\bar{A}\cup\bar{B}}\in\mathcal{A… text/html 2020-10-11T17:11:01+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:propriete_famille_ortho&rev=1602436261&do=diff Retour Preuve : propriétés des familles orthogonales * Soit $(\lambda_{1},\dots,\lambda_{p})$ une famille de réels tels que $\lambda_{1}\vv{x_1}+\dots+\lambda_{p}\vv{x_p}=\vv{0_E}$. Soit $i\in\llbracket1,p\rrbracket$. On a alors : $$\ds0=\left\langle \vv{0_E},\vv{x_i}\right\rangle =\left\langle \lambda_{1}\vv{x_1}+\dots+\lambda_{p}\vv{x_p},\vv{x_i}\right\rangle =\sum_{k=1}^{p}{\lambda_{k}\left\langle \vv{x_k},\vv{x_i}\right\rangle }=\lambda_{i}\left\langle \vv{x_i},\vv{x_i}\right\rangle =\l… text/html 2020-06-09T22:22:53+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:propriete_fonction_gamma&rev=1591741373&do=diff Retour Preuve : propriétés de la fonction Gamma Relation fonctionnelle Soit $x>0$. Alors $\Gamma(x)$ et $\Gamma(x+1)$ existent (les intégrales convergent). De plus, pour tout couple $(a,b)$ de réels strictement positifs et par intégration par parties, on a : $$\ds\int_{a}^{b}{t^{x}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t}=\left[t^{x}(-\mathrm{e}^{-t})\right]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}{xt^{x-1}(-\mathrm{e}^{-t})\mathrm{d}t}=a^{x}\mathrm{e}^{-a}-b^{x}\mathrm{e}^{-b}+x\int_{a}^{b}{t^{x-1}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t… text/html 2023-12-10T21:51:10+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:propriete_inverse_matrice&rev=1702245070&do=diff Retour Preuve : propriétés de l'inverse d'une matrice * On pose $\ds C=\frac{1}{\lambda}A^{-1}$. Un calcul immédiat assure que $(\lambda A)C=C(\lambda A)=I$ donc que $\lambda A$ est inversible et que $\ds\frac{1}{\lambda}A^{-1}$ est son inverse. * Même principe avec $C=B^{-1}A^{-1}$. * Récurrence en utilisant les deux points qui précèdent. * Même principe qu'au premier point en utilisant la règle de la transposée du produit. text/html 2020-05-11T22:23:45+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:propriete_matrice_passage&rev=1589235825&do=diff Retour Preuve : propriétés des matrices de passage * Posons : $X=\begin{pmatrix}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix}$ et $X'=\begin{pmatrix}x_{1}' \\ \vdots \\ x_{n}' \end{pmatrix}$, c'est-à-dire que : $$\ds\vv{x}=\sum_{i=1}^{n}{x_{i}\vv{e_i}}=\sum_{j=1}^{n}{x_{j}'\vv{e_j}'}$$ Posons aussi : $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}=(p_{i,j})$ c'est-à-dire que : $$\ds\forall j\in[\![1,n]\!],\;\vv{e_j}'=\sum_{i=1}^{n}{p_{i,j}\vv{e_i}}$$ Alors : $$\begin{array}{rcl}\ds\sum_{i=1}^{n}{x_{i}\vv{e_i}} & = … text/html 2020-05-25T07:41:28+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:propriete_norme&rev=1590392488&do=diff Retour Preuve : propriétés de la norme * Seul le vecteur nul a pour norme 0 : $$\ds\|\vv{x}\|=0\iff\varphi(\vv{x},\vv{x})=0\iff\vv{x}=\vv{0_E}$$ * Norme d'un vecteur colinéaire à un autre : $$\ds\|\lambda\vv{x}\|^{2}=\varphi(\lambda\vv{x},\lambda\vv{x})=\lambda^{2}\varphi(\vv{x},\vv{x})=\lambda^{2}\|\vv{x}\|^{2}$$donc : $$\ds\|\lambda\vv{x}\|=|\lambda|\times\|\vv{x}\|$$ * Relation d'Al Kashi : $$\ds\|\vv{x}+\vv{y}\|^{2}=\varphi(\vv{x}+\vv{y},\vv{x}+\vv{y})=\varphi(\vv{x},\vv{x})+\varphi… text/html 2020-05-10T19:31:44+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:propriete_produit_des_polynomes&rev=1589139104&do=diff Retour Preuve : formule du binôme de Newton On effectue une récurrence. Soit donc $\mathcal H(n)$ la proposition : Pour tout couple $(P,Q)$ de polynômes, ... Au rang $n=0$, la proposition est vraie puisque $P^0=1$ pour tout polynôme $P$. La proposition est trivialement vraie au rang $n=1$$n\geqslant0$$\mathcal H(n)$$(P,Q)$$$\begin{array}{rcl} (P+Q)^{n+1} & = & \ds (P+Q)\times(P+Q)^n=(P+Q)\sum_{k=0}^n{\binom{n}{k}P^kQ^{n-k}} \\ & = & \ds \sum_{k=0}^n{\binom{n}{k}P^{k+1}Q^{n-k}}+\sum_{k=0}^n{\… text/html 2020-05-10T19:31:44+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:propriete_serie&rev=1589139104&do=diff Retour Preuve : propriétés des séries * Pour tout $n>p$, on a : $$\ds a_{n}=\sum_{k=p}^{n}{a_{k}}-\sum_{k=p}^{n-1}{a_{k}}\xrightarrow[n\to+\infty]{}\sum_{k=p}^{+\infty}{a_{k}}-\sum_{k=p}^{+\infty}{a_{k}}=0$$ * Pour tout entier $n\geqslant q>p$, on a : $$\ds\sum_{k=p}^{n}{u_{k}}=\sum_{k=p}^{q-1}{u_{k}}+\sum_{k=q}^{n}{u_{k}}$$d'où la nature identique et l'égalité de Chasles en cas de convergence. * Pour tout entier $n\geqslant p$, on a : $$\ds\sum_{k=p}^{n}{(\lambda u_{k}+\mu v_{k})}=\lam… text/html 2020-06-16T21:51:46+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:proprietes_projecteurs&rev=1592344306&do=diff Retour Preuve : propriétés des projecteurs et symétries * Pour tout vecteur $\vv{x}\in E$, on note $\vv{x_1}+\vv{x_2}$ sa décomposition dans $F\oplus G$. On a : $$p(\lambda \vv{x}+\mu \vv{y})=p(\lambda \vv*{x_1}+\mu \vv{y_1}+\lambda \vv{x_2}+\mu \vv{y_2})=\lambda \vv{x_1}+\mu \vv{y_1}=\lambda p(\vv{x})+\mu p(\vv{y})$$ donc $p\in\mathcal L(E)$. Soit $\vv{x}\in\text{Ker}(p)$. Alors : $$\vv{0_E}=p(\vv{x})=\vv{x_1}$$ donc $\vv{x}=\vv{x_2}\in G$. Réciproquement, si $\vv{x}\in G$ alors $\vv{x}=\v… text/html 2020-06-22T08:31:26+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:proprietes_sous_espaces_propres&rev=1592814686&do=diff Retour Preuve : propriétés des sous-espaces propres * Soit $\lambda\in\mathrm{Sp}(u)$ et $F$ le sous-espace propre de $u$ associé à la valeur propre $\lambda$. Pour tout $\vv{x}\in F$, on a : $$u(\vv{x})=\lambda\vv{x}\in F$$Ainsi, $F$ est stable par $u$. * Notons $E_{\lambda_{1}}(u),\dots,E_{\lambda_{k}}(u)$ les sous-espaces propres de $u$ (ils sont en nombre fini puisque les valeurs propres sont en nombre fini).$k=2$$\vv{x}\in E_{\lambda_{1}}(u)\cap E_{\lambda_{2}}(u)$$$\ds u(\vv{x})=\la… text/html 2020-05-10T19:31:43+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:proprietes_valeur_absolue&rev=1589139103&do=diff Retour Preuve : propriétés de la valeur absolue * Soit $x\in\R$. On a : $$\ds\left|x\right|=0\iff\sqrt{x^{2}}=0\iff x^{2}=0\iff x=0$$ * Soit $(x,y)\in\R^{2}$. On a : $$\ds\left|xy\right|=\sqrt{\left(xy\right)^{2}}=\sqrt{x^{2}y^{2}}=\sqrt{x^{2}}\sqrt{y^{2}}=\left|x\right|\times\left|y\right|$$ * Soit $(x,y)\in\R^{2}$. On a : $$\ds\left|x+y\right|^{2}=(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy\leqslant\left|x\right|^{2}+\left|y\right|^{2}+2\left|x\right|\cdot\left|y\right|=\left(\left|x\right|+\left|y\rig… text/html 2020-06-12T08:48:34+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:pte_abs_cv&rev=1591951714&do=diff Retour Preuve : propriétés de la convergence absolue La convergence absolue implique la convergence Supposons que la série $\ds\sum_{n\geqslant0}{u_{n}}$ converge absolument. Posons: $$\ds\forall n\geqslant0,\quad v_{n}=\left|u_{n}\right|+u_{n}\quad\text{et}\quad\;w_{n}=\left|u_{n}\right|$$ Alors, pour tout entier $n\geqslant0$ : $$\ds u_{n}=v_{n}-w_{n} \qquad\text{et}\qquad 0\leqslant v_{n}\leqslant2\left|u_{n}\right| \qquad\text{et}\qquad 0\leqslant w_{n}$$ De plus, la série $\ds\sum_{n\ge… text/html 2020-05-10T19:31:44+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:racine_de_l_unite&rev=1589139104&do=diff Retour Preuve : racines de l'unité * Le polynôme $X^n-1$ admet au plus $n$ racines deux à deux distinctes dans $\mathbb{C}$ (cf plus loin). Les $n$ complexes proposés sont racines de ce polynôme et sont deux à deux distincts puisque leurs arguments sont différents modulo $2\pi$$\mathrm{e}^{i\frac{2\pi}n}$$n\geqslant2$ text/html 2020-05-10T19:31:44+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:racine_multiple_polynome&rev=1589139104&do=diff Retour Preuve : racine multiple d'un polynôme * $\boxed{1\implies2}$ On écrit la divisibilité. La non factorisation supplémentaire entraîne la non racine de $Q$. * $\boxed{2\implies3}$ On applique la formule de Taylor à $Q$ en $\alpha$ puis on identifie les coefficients dans la base constituée par les polynômes $(X-\alpha)^{m}$$0\leqslant m\leqslant k$$\boxed{3\implies1}$$P$$\alpha$ text/html 2020-06-22T08:24:40+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:racine_polynome_annulateur_et_valeur_propre&rev=1592814280&do=diff Retour Preuve : racine d'un polynôme annulateur et valeur propre * On sait que : $Q(u)=\Theta$. Soit $\lambda\in\mathrm{Sp}(u)$. Soit $\vv{x}$ un vecteur propre de $u$ associé à $\lambda$. On a : $$\ds\vv{0_E}=Q(u)(\vv{x})=Q(\lambda)\cdot\vv{x}$$ Comme $\vv{x}\neq\vv{0_E}$, on en déduit que $Q(\lambda)=0$. Un contre exemple de la réciproque: $\mathrm{Id}_{E}$ admet pour unique valeur propre le réel 1. Or $X(X-1)$$\mathrm{Id}_{E}$$E$$u$$Q$$\deg(Q)$$u$$\deg(Q)$ text/html 2020-05-10T19:31:44+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:racine_polynome&rev=1589139104&do=diff Retour Preuve : racine d'un polynôme Compte tenu du degré de $X-a$, la division euclidienne de $P$ par $X-a$ donne : $$\exists!Q\in\mathbb{K}[X]\;/\;P(X)=(X-a)Q(X)+P(a)$$ On en déduit immédiatement que $(X-a)\mid P$ si et seulement si $P(a)=0$. text/html 2020-05-10T19:31:44+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:relations_trigonometriques&rev=1589139104&do=diff Retour Preuve: relations trigonométriques * Module égal à 1. * Soit $(a,b)\in\R^{2}$. On a : $$\begin{array}{rcl} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(a\pm b)} & = & \mathrm{e}^{\mathrm{i} a}\mathrm{e}^{\pm\mathrm{i} b} \\ \cos\left(a\pm b\right)+\mathrm{i}\sin\left(a\pm b\right) & = & \left[\cos(a)+\mathrm{i}\sin(a)\right]\left[\cos(b)\pm\mathrm{i}\sin(b)\right] \\ & = & \left[\cos(a)\cos(b)\mp\sin(a)\sin(b)\right]+\mathrm{i}\left[\sin(a)\cos(b)\pm\cos(a)\sin(b)\right] \end{array}$$Il ne reste plus qu… text/html 2020-05-11T21:19:13+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:reunion_et_somme_de_sous_espaces&rev=1589231953&do=diff Retour Preuve : lien entre réunion et somme de sous-espaces * Les sommes étant stables par combinaisons linéaires, on en déduit rapidement que $F_1+\dots+F_n$ est un sous-espace vectoriel de $E$. * Si $\vv{x_i}\in F_{i}$ alors : $$\ds\vv{x_i}=\vv{0_E}+\dots+\vv{0_E}+\vv{x_i}+\vv{0_E}+\dots+\vv{0_E}\in F_{1}+\dots+F_{p}$$donc : $$\ds F_{i}\subset\left(F_{1}+\dots+F_{p}\right)$$et ainsi : $$\ds\left(F_{1}\cup\dots\cup F_{p}\right)\subset\left(F_{1}+\dots+F_{p}\right)$$Soit $G$ un autre sous… text/html 2020-05-10T19:31:44+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:serie_exp&rev=1589139104&do=diff Retour Preuve : série exponentielle Soit $x\in\R$. La fonction exponentielle est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\R$ donc l'inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre $n$ en 0 donne : $$\ds\left|\mathrm{e}^{x}-\sum_{k=0}^{n}{\frac{x^{k}}{k!}}\right|=\left|\mathrm{e}^{x}-\sum_{k=0}^{n}{\frac{\mathrm{e}^{0}}{k!}(x-0)^{k}}\right|\leqslant\frac{|x-0|^{n+1}}{(n+1)!}\max_{t\in[0,x]}\mathrm{e}^{t}\leqslant\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}\mathrm{e}^{|x|}\xrightarrow[n\to+\infty]{}0$$puisque $|x|^{n}=o(n!)$… text/html 2020-05-10T19:31:44+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:serie_geo&rev=1589139104&do=diff Retour Preuve : convergence ou divergence des séries géométriques Série géométrique Soit $x\in\R$. Si $|x|\geqslant1$ alors la suite $(x^n)$ ne converge pas vers 0 donc la série diverge. Supposons donc que $|x|<1$. La suite $(x^n)$ converge bien vers 0 et on a : $$\ds\sum_{k=0}^{n}{x^k}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\xrightarrow[n\to+\infty]{}\frac{1}{1-x}$$ Série géométrique dérivée $x\in\R$$|x|\geqslant1$$(nx^n)$$|x|<1$$(nx^n)$$x$$$\ds\sum_{k=1}^{n}{kx^{k-1}}=\frac{-(n+1)x^n(1-x)-(1-x^{n+1})(-1)}{… text/html 2020-05-10T19:31:44+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:serie_riemann&rev=1589139104&do=diff Retour Preuve : séries de Riemann * $\boxed{\alpha\leqslant0}$ : La suite $\ds\left(\frac{1}{n^{\alpha}}\right)_{n\geqslant1}$ ne converge pas vers 0 donc la série est divergente. Par ailleurs, la fonction $\ds t\mapsto\frac{1}{t^{\alpha}}=t^{-\alpha}$ est croissante sur $]0,+\infty[$ donc : $$\ds\forall k\in\N^{*},\;\forall t\in[k,k+1],\;\frac{1}{k^{\alpha}}\leqslant\frac{1}{t^{\alpha}}\leqslant\frac{1}{(k+1)^{\alpha}}$$Le théorème IAF donne alors : $$\ds\forall k\in\N^{*},\;\frac{1}{k^{\a… text/html 2020-05-10T19:31:44+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:somme_deux_lois_usuelles_discretes&rev=1589139104&do=diff Retour Preuve : somme indépendantes de deux lois usuelles * Il est clair que : $$(X_{1}+X_{2})(\Omega)=\llbracket0,n_{1}+n_{2}\rrbracket$$Posons $q=1-p$. Soit donc $k\in\llbracket0,n_{1}+n_{2}\rrbracket$. D'après le produit de convolution : $$\begin{array}{rcl} \mathbb{P}(X_{1}+X_{2}=k) & = & \ds\sum_{\substack{i\in\llbracket0,n_{1}\rrbracket\\k-i\in\llbracket0,n_{2}\rrbracket}}^{n_{1}}{\mathbb{P}(X_{1}=i)\mathbb{P}(X_{2}=k-i)} \\ & = & \ds\sum_{i=\max\{0,j-n_{2}\}}^{\min\{j,n_{1}\}}{\left[… text/html 2020-06-22T08:14:15+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:somme_independante_lois_usuelles_densite&rev=1592813655&do=diff Retour Preuve : stabilité de lois usuelles par somme indépendante Somme de lois gamma indépendantes Soit $X_1\hookrightarrow\gamma(\nu_1)$ et $X_2\hookrightarrow\gamma(\nu_2)$ indépendantes de densités $f_1$ et $f_2$. Comme $(X_1+X_2)(\Omega)=\left]0,+\infty\right[$ presque sûrement, il est immédiat que $f_{X_{1}+X_{2}}(x)=0$ pour tout $x\leqslant0$. De plus, pour tout réel $x>0$, sous réserve de convergence, on a :$$\begin{array}{rcl}f_{X_{1}+X_{2}}(x) & = & \ds\int_{-\infty}^{+\infty}{… text/html 2023-10-31T22:10:56+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:sommes_de_riemann&rev=1698790256&do=diff Retour Preuve : sommes de Riemann Conformément au programme, la démonstration s'effectue dans le cas où $f$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $[a,b]$. Pour tout entier $n\geqslant1$ et tout entier $k\in\llbracket1,n\rrbracket$, on pose : $$\ds a_{k}=a+k\frac{b-a}{n}$$(subdivision de $[a,b]$). Pour tout $n\in\N^{*}$, on a : $$\begin{array}{rcl} \ds\left|\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}{f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)}-\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d}t}\right| & = & \ds\left|\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{… text/html 2020-05-25T08:59:00+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:sous_espace_lie_a_contrainte&rev=1590397140&do=diff Retour Preuve : base de l'orthogonal à la contrainte linéaire On a : $\ds X = \begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} \in \mathcal{H}$ si et seulement si : $$\ds\left\langle \begin{pmatrix} a_{1,1} \\ \vdots \\ a_{1,n} \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} \right\rangle =\dots=\left\langle \begin{pmatrix} a_{p,1} \\ \vdots \\ a_{p,n} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix}\right\rangle =0$$ $$\ds X\in\mathrm{Vect}\le… text/html 2020-05-10T19:31:45+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:sous_espace_stable_endomorphisme_symetrique&rev=1589139105&do=diff Retour Preuve : stabilité du sous-espace orthogonal Soit $u$ un endomorphisme symétrique de $E$. Soit $F$ un sous-espace stable par $u$. Soit $\vv{x}\in F^{\perp}$. On montre que $u(\vv{x})\in F^{\perp}$. Soit donc $\vv{y}\in F$. Alors, $u(\vv{y})\in F$ et on a : $$\ds\left\langle u(\vv{x}),\vv{y}\right\rangle =\left\langle \vv{x},u(\vv{y})\right\rangle =0$$ text/html 2020-05-10T19:31:45+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:taylor_reste_integral&rev=1589139105&do=diff Retour Preuve : formule de Taylor avec reste intégral On effectue une récurrence sur $n$. Si $n=0$ alors la relation est tout bonnement : $$\ds f(x)=f(a)+\int_a^x f'(t)\mathrm{d}t$$donc la propriété est vraie. Soit $n\geqslant0$ telle que la propriété est vraie. Soit $f$ de classe $\mathcal C^{n+2}$ sur $I$. Soit $(a,x)\in I^2$. Comme $f$ est aussi de classe $C^{n+1}$$$\ds f(x)=\sum_{k=0}^{n}{\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}}+\int_{a}^{x}{\frac{(x-t)^{n}}{n!}f^{(n+1)}(t)\mathrm d t}$$$t\mapsto … text/html 2020-05-10T21:35:48+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:telescopage&rev=1589146548&do=diff Retour Preuve : télescopage Soit $\mathcal{H}(n)$ la proposition : $\ds\sum_{k=m}^{n}{\left[u_{k+1}-u_{k}\right]}=u_{n+1}-u_{m}$. Si $n=m$ alors l'égalité est évidente. Soit $n\geqslant m$ tel que la proposition $\mathcal{H}(n)$ est vraie. Alors : $$\begin{array}{rcl} \ds\sum_{k=m}^{n+1}{\left[u_{k+1}-u_{k}\right]} & = & \ds\sum_{k=m}^{n}{\left[u_{k+1}-u_{k}\right]}+(u_{n+2}-u_{n+1}) \\ & = & u_{n+1}-u_{m}+u_{n+2}-u_{n+1} \\ & = & u_{n+2}-u_{m} \end{array}$$donc la proposition $\mathcal{H}(n+… text/html 2020-05-10T19:31:45+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:terme_gene_suite_usuelle&rev=1589139105&do=diff Retour Preuve : expression du terme général des suites de type usuel * L'implication se démontre par récurrence, la réciproque résulte d'un simple calcul. * L'implication se démontre par récurrence, la réciproque résulte d'un simple calcul.$x=ax+b$$\ell=\dfrac{b}{1-a}$$a\ne1$$n\geqslant p$$$\ds v_{n+1}=u_{n+1}-\frac{b}{1-a}=au_{n}+b-\frac{b}{1-a}=a\left(v_{n}+\frac{b}{1-a}\right)-\frac{ab}{1-a}=av_{n}$$$(v_{n})$$a$$(u_{n})$$\Phi\colon E\to\R^{2},(u_{n})\mapsto(u_{0},u_{1})$$\R$$E$$a$$b$$\… text/html 2020-05-14T09:51:54+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:th_compa_o&rev=1589449914&do=diff Retour Preuve : convergence par comparaison de négligeable On suppose que : $(v_n)_{n\geqslant p}$ est une suite positive, $\ds\sum_{n\geqslant p}{v_{n}}$ converge et que $\ds u_n \underset{n\to+\infty}{=} o(v_n)$. Comme $\ds u_{n}\underset{n\to+\infty}{=} o(v_{n})$ alors il existe une suite $(\varepsilon_{n})$ convergente de limite $0$ et un rang $n_{0}$ tels que : $$\ds\forall n\geqslant n_{0},\;u_{n}=\varepsilon_{n}v_{n}$$ La limite nulle permet d'écrire qu'il existe un rang $n_{1}\geqsla… text/html 2020-05-14T10:15:20+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:th_compa_serie&rev=1589451320&do=diff Retour Preuve : théorème de convergence des séries par comparaison (début) Soit $(u_{n})_{n\geqslant p}$ et $(v_{n})_{n\geqslant p}$ deux suites réelles à termes positifs. * La suite des sommes partielles est croissante puisque $S_{n+1}-S_{n}=u_{n+1}\geqslant0$ pour tout entier $n\geqslant p$. Alors elle converge si et seulement si elle est majorée.$n_{0}\geqslant p$$\forall n\geqslant n_{0},\;u_{n}\leqslant v_{n}$$$\ds\forall n\geqslant n_{0},\;\sum_{k=n_{0}}^{n}{u_{k}}\leqslant\sum_{k=n… text/html 2020-06-05T08:22:06+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:th_rang&rev=1591345326&do=diff Retour Preuve : théorème du rang Soit $(\vv{e_1},\dots,\vv{e_p})$ une base de $\mathrm{Ker}(u)$. Le théorème de la base incomplète permet de compléter cette famille libre en une base $(\vv{e_1},\dots,\vv{e_p},\vv{e_{p+1}},\dots,\vv{e_n})$ de $E$. Or, on sait que : $$\mathrm{Im}(u)=\mathrm{Vect}(u(\vv{e_1}),\dots,u(\vv{e_p}),u(\vv{e_{p+1}}),\dots,u(\vv{e_n}))=\mathrm{Vect}(u(\vv*{e_{p+1}}),\dots,u(\vv{e_n}))$$ On montre alors que cette famille génératrice de $\mathrm{Im}(u)$ est aussi une fam… text/html 2020-05-10T19:31:45+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:theoreme_fondamental_reduction_matrice&rev=1589139105&do=diff Retour Preuve : théorème fondamental de la réduction des matrices * Supposons que $D$ est diagonale et $P$ est inversible telle que : $D=P^{-1}AP$. Alors : $PD=AP$. Pour tout $i\in\llbracket1,n\rrbracket$, notons $C_{i}$ la matrice-colonne égale à la $i$-ème colonne de $P$ et $\lambda_{i}$ le $i$-ème coefficient de la diagonale de $D$$i$$PD$$\lambda_{i}C_{i}$$AP$$AC_{i}$$AC_{i}=\lambda C_{i}$$\mathrm{tr}(UV)=\mathrm{tr}(VU)$$U$$V$$\mathcal{M}_{n}(\R)$$$\ds\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(PDP^{-1}… text/html 2020-05-10T19:31:45+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:theoreme_limite_centree&rev=1589139105&do=diff Retour Preuve : théorème de la limite centrée Idée de la situation dans un cas particulier : $X_{n}\hookrightarrow\mathcal{E}(1)=\gamma(1)$. Notons $S_{n}=X_{1}+\dots+X_{n}$. Le théorème de stabilité par somme indépendante prouve que : $S_{n}\hookrightarrow\gamma(n)$. Soit $x\in\R$. On a : $$\ds F_{\bar{X}_{n}^{*}}(x)=\mathbb{P}(\bar{X}_{n}^{*}\leqslant x)=\mathbb{P}(S_{n}\leqslant x\sqrt{n}+n)=F_{S_{n}}(x\sqrt{n}+n)$$Par composition, $F_{\bar{X}_{n}^{*}}$ est continue sur $\R$ et de classe … text/html 2020-05-10T19:31:45+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:theoreme_pythagore&rev=1589139105&do=diff Retour Preuve : théorème de Pythagore Soit $(\vv{x},\vv{y})\in E^{2}$. On a : $$\begin{array}{rcl}\vv{x}\perp\vv{y} & \iff & \varphi(\vv{x},\vv{y})=0 \\ & \iff & \|\vv{x}\|^{2}+\|\vv{y}\|^{2}+2\varphi(\vv{x},\vv{y})=\|\vv{x}\|^{2}+\|\vv{y}\|^{2} \\ & \iff & \|\vv{x}+\vv{y}\|^{2}=\|\vv{x}\|^{2}+\|\vv{y}\|^{2} \end{array}$$ text/html 2020-05-10T19:31:45+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:theoreme_transfert_densite_1&rev=1589139105&do=diff Retour Preuve : théorème de transfert de densité On suppose que $g$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $]a,b[$ et que $g'$ est strictement positive sur $]a,b[$. On note $\ds\alpha=\lim_{x\to a}{g(x)}$ et $\ds\beta=\lim_{x\to b}{g(x)}$. Alors, la répartition de $Y=g(X)$ est donnée par : $$\ds F_{Y}(t)=\mathbb{P}(Y\leqslant t)=\begin{cases} 0 & \text{si}\;g^{-1}(t)\leqslant a \\ \mathbb{P}(X\leqslant g^{-1}(t)) & \text{si}\;a<g^{-1}(t)<b \\ 1 & \text{si}\;g^{-1}(t)\geqslant b \end{cases}=\begi… text/html 2020-05-10T19:31:45+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:theoreme_transfert_esperance_densite&rev=1589139105&do=diff Retour Preuve : espérance par transfert On suppose que $g$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $]a,b[$ et que $g'$ est strictement positive sur $]a,b[$. On note $\ds\alpha=\lim_{x\to a}{g(x)}$ et $\ds\beta=\lim_{x\to b}{g(x)}$. Alors, une densité de $Y=g(X)$ est donnée par : $$f_{Y}(t)=\begin{cases} 0 & \text{si}\;t\notin\left]\alpha,\beta\right[ \\ \ds\frac{f_{X}(g^{-1}(t))}{g'(g^{-1}(t))} & \text{si}\;t\in\left]\alpha,\beta\right[ \end{cases}$$ Sous réserve de convergence absolue : $$\d… text/html 2023-12-10T21:49:23+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:unicite_inverse_matrice&rev=1702244963&do=diff Retour Preuve : unicité de l'inverse d'une matrice Soit $A$ une matrice carrée inversible. Supposons que $B$ et $C$ sont deux inverses de $A$. Alors : $$B = B \cdot I = B \cdot (A \cdot C) = (B \cdot A) \cdot C = I \cdot C = C$$ d'où l'unicité. text/html 2020-05-10T19:31:45+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:unicite_limite_fonction&rev=1589139105&do=diff Retour Preuve : unicité de la limite d'une fonction Démonstration dans le cas de deux limites finies. Soit donc $\ell$ et $\ell'$ deux limites supposées distinctes (et telles que $\ell<\ell'$) d'une fonction $f\colon I\to\R$ en un point $x_{0}$. Posons $\ds\varepsilon=\frac{\ell'-\ell}{3}>0$. La définition de chaque limite donne, pour ce réel $\varepsilon$$$\ds\exists\alpha>0\;/\;\forall x\in\forall x\in I\cap\left[x_{0}-\alpha,x_{0}+\alpha\right],\;|f(x)-\ell|\leqslant\varepsilon$$$$$$Posons… text/html 2020-05-10T19:31:45+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.alainguichet.fr/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:demo:unicite&rev=1589139105&do=diff Retour Preuve : unicité de la limite d'une suite Uniquement en cas de convergence Supposons l'existence de deux limites distinctes $\ell_1<\ell_2$. Posons $\varepsilon=\dfrac{\ell_2-\ell_1}3>0$. La définition de la limite donne dans les deux cas : $$\exists n_1\in\N\;/\;\forall n\geqslant n_1,\;\ell_1-\varepsilon\leqslant u_n\leqslant\ell_1+\varepsilon=\dfrac{2\ell_1+\ell_2}3$$ $$\exists n_2\geqslant n_1\;/\;\forall n\geqslant n_2,\;\dfrac{\ell_1+2\ell_2}3=\ell_2-\varepsilon\leqslant u_n\leq…