Vocabulaire

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T19:19:11+00:00

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Étude d'une série statistique

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T19:19:12+00:00

Précédent Suivant Sommaire du chapitre 1 Maths en ECS2 Index Forum maths Accueil Chapitre 1 : Statistiques descriptives 1.1. Statistiques à une variable Étude d'une série statistique L'objectif de ce paragraphe est de dégager des valeurs caractéristiques les plus pertinentes possibles d'une série statistique afin réduire son étude au calcul de quelques nombres.$(\Omega,E,X)$$E$$\mathbb R$$X$$F$$E$$F$$X$$$ \dfrac{\text{Card}(X^{-1}(F))}{\text{Card}(\Omega)}$$$x$$X$$x$$$\ds\sum_{\substac…

Vocabulaire

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T19:19:12+00:00

Précédent Suivant Sommaire du chapitre 1 Maths en ECS2 Index Forum maths Accueil Chapitre 1 : Statistiques descriptives 1.2. Statistiques à deux variables Il s'agit maintenant de s'intéresser simultanément à deux caractères quantitatifs d'une même population (taille et poids d'un individu, abscisse et ordonnée d'un point, $n$$X$$Y$$(x_{i},y_{i})$$i$$(X,Y)$$(X,Y)$$\left(\bar{X},\bar{Y}\right)$$(X,Y)$$$\text{Cov}(X,Y)=\overline{X.Y}-\overline{X}.\overline{Y}$$$(X,Y)$$$r=\rho(X,Y)=\dfrac{\…

Premier exemple

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T19:19:12+00:00

Précédent Suivant Sommaire du chapitre 1 Maths en ECS2 Index Forum maths Accueil Chapitre 1 : Statistiques descriptives 1.2. Statistiques à deux variables Premier exemple Dans le tableau ci-dessous, on a relevé les notes en mathématiques lors d'un devoir surveillé durant l'année scolaire et les notes des mêmes étudiants lors du même type d'épreuve le jour du concours:

Second exemple

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T19:19:12+00:00

Précédent Suivant Sommaire du chapitre 1 Maths en ECS2 Index Forum maths Accueil Chapitre 1 : Statistiques descriptives 1.2. Statistiques à deux variables Il s'agit maintenant de s'intéresser simultanément à deux caractères quantitatifs d'une même population (taille et poids d'un individu, abscisse et ordonnée d'un point, $n$$X$$Y$$(x_{i},y_{i})$$i$$y$$x$$(x_{i},y_{i})$$i$$$\ds\min_{(a,b)\in\R^{2}}{\sum_{i=1}^{492}{(ax_{i}+b-y_{i})^{2}}}$$$(a_{0},b_{0})$$y=a_{0}x+b_{0}$$x$$y$

Ajustement affine

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T19:19:12+00:00

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Fonctions et applications

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-11T22:27:06+00:00

Fct num > Fct/Appl Limites Asymptote Continuité Dérivabilité Convexité Fonctions et applications Fonction Définition : Fonction Soit $E$ et $F$ deux ensembles quelconques. * On dit que $f$ est une fonction de $E$ dans $F$ si et seulement si, à chaque élément $x$ de $E$, correspond au plus un unique élément $y$ de $F$ ; on note $y=f(x)$$x$$f$$f\colon E\to F,\; x\mapsto f(x)$$f\colon E\to F$$x$$E$$f$$f$$y\in F$$x$$E$$y=f(x)$$y$$f$$A$$E$$f$$f(A)$$A$$F$$A$$f$$$\ds f(A)=\left\{ y\in F\,\…

Comportement asymptotique des fonctions

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-12T06:48:28+00:00

Fct num > Fct/Appl Limites Asymptote Continuité Dérivabilité Convexité Comportement asymptotique des fonctions Branches infinies d'une courbe Définition : Asymptote et direction parabolique * La courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet pour asymptote verticale la droite d'équation $x=x_{0}$ si et seulement si : $$\ds\lim_{x\to x_{0}}{f(x)}=\pm\infty$$ * La courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet pour $y=\ell$$$\ds\lim_{x\to\pm\infty}{f(x)}=\ell$$$\mathcal{C}_{f}$$y=ax+b$$$\ds\lim_{x\to\pm\infty}{\le…

Bases orthonormales

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2024-02-21T21:12:08+00:00

Esp Eucli > Prod scal Norme Ortho Fam ortho Bases ortho Supplé ortho Bases orthonormales Dans ce paragraphe, $(E,\left\langle .,.\right\rangle )$ désigne un espace euclidien de dimension finie $n$. On identifie $\mathcal{M}_{1}(\R)$ avec $\R$. Théorème : Existence de bases orthonormales, coordonnées dans une telle base * Tout espace espace euclidien admet une base orthonormale.$(\vv{e_1},\dots,\vv{e_n})$$E$$x$$E$$$\ds\vv{x}=\sum_{i=1}^{n}{\left\langle \vv{x},\vv{e_i}\right\rangle \…

Nombres complexes et trigonométrie

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T21:36:52+00:00

Ensembles > Logique Voc Ens Tribu N, Z, Q R C, Trigo Polynômes Matrices Matrices carrées Systèmes Nombres complexes et trigonométrie Définition * On appelle $\mathrm{i}$ le « nombre » vérifiant l'égalité : $\mathrm{i}^{2}=-1$. * On appelle ensemble des nombres complexes l'ensemble: $\C=\{a+b\cdot\mathrm{i}\,|\,(a,b)\in\R^{2}\}$. * Soit $z=a+b\cdot\mathrm{i}$ un complexe, noté aussi $a+b\mathrm{i}$ (ou encore$a+\mathrm{i} b$). * L'écriture $z=a+b\cdot\mathrm{i}$$z$$a$$z$$a=…

Techniques de calculs

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2024-02-24T15:52:59+00:00

Intégrales > Int. seg. Calculs Int. géné. Propriétés Int.fct >0 Int. fct sgn var Techniques de calculs Théorème : Intégration par parties Soit $u$ et $v$ deux fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$. Pour tout $(a,b)\in I^{2}$, on a : $$\ds\int_{a}^{b}{u'(t)v(t)\mathrm{d} t}=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int_{a}^{b}{u(t)v'(t)\mathrm{d} t}$$ Exemples * Calculer $\ds\int_{0}^{x}{(t^{2}+t+1)\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d} t}$ pour tout réel $x$. * Soit $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a,b]$ av…

Changement de base

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2024-02-24T15:51:07+00:00

Appli liné > Généralités Poly annul Matrice Chang base Changement de base Théorème : Théorème fondamental du changement de base Soit $u\in\mathcal{L}(E)$, $A=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}}(u)$, $A'=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}'}(u)$ et $P=P_{\mathcal{B}_{E},\mathcal{B}_{E}'}$. Alors : $$A'=P^{-1}\times A\times P$$ Exemple Soit $\mathcal{B}$ la base canonique de $\R^{3}$. On considère les vecteurs de $\R^{3}$ suivant : $$\vv{e_1}'=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\qquad\vv{e_2}'…

Comportement asymptotique des suites

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-12T13:49:25+00:00

Suites, Séries > Suites Cv, Dv Comp Asymp Séries Termes >0 Signe qcq Doubles Comportement asymptotique des suites Suites négligeables

Continuité et classe C^1 sur une partie de R^n

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T19:19:13+00:00

Fonctions sur ouvert de R^n > Topologie R^n C^0 / C^1 sur ouvert de R^n Classe C^2 sur ouvert de R^n Dérivée seconde direct Continuité et classe C^1 sur une partie de R^n Continuité Définition Soit $\mathcal{U}$ une partie de $\R^{n}$. Soit $f\colon\mathcal{U}\to\R$. * Soit $A$ un point de $\mathcal{U}$. On dit que $f$ est continue en $A$ si et seulement si : $$\ds\forall\varepsilon>0,\;\exists\alpha>0\;/\;\forall M\in\mathcal{U},\; AM=\|\vv{AM}\|\leqslant\alpha\;\implies\;\left|f(M)-…

Continuité des fonctions de n variables

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T19:19:13+00:00

Fct sur R^n > Généralités Continuité Dériv part Classe C^1 Dériv direc Extremum Continuité des fonctions de n variables Continuité en un point de R^n Définition Soit $f\colon\R^{n}\to\R$. Soit $A$ un point de $\R^{n}$. On dit que $f$ est continue en le point $A$ si et seulement si : $$\ds\forall\varepsilon>0,\;\exists\alpha>0\;/\;\forall M\in\R^{n},\;\left[\;\|M-A\|=\|\vv{AM}\|\leqslant\alpha\;\implies\;\left|f(M)-f(A)\right|\leqslant\varepsilon\;\right]$$ Remarque On peut constater…

Continuité sur un intervalle

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-12T06:50:24+00:00

Fct num > Fct/Appl Limites Asymptote Continuité Dérivabilité Convexité Continuité sur un intervalle Définition * On dit qu'une fonction $f$ est continue sur $I$ si et seulement si elle est continue en tout point de $I$. * L'ensemble des fonctions continues sur $I$ se note : $\mathcal{C}^0(I)$ ou bien $\mathcal{C}^0(I,\R)$. Exemple Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$$\R$$f$$I$$I$$\mathcal{C}^0(I)$$\mathcal{A}^0(I,\R)$$I$$I$$I$$I$$I$$f$$I$$g$$J\supset f(I)$$g\circ…

Convergence en loi et approximations de certaines lois usuelles

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-02-04T11:03:10+00:00

Suites de VAR > Convergence en probabilité Convergence en loi Convergence en loi et approximations de certaines lois usuelles Définition et propriétés Définition On dit que la suite de variables aléatoires $(X_{n})_{n\in\N}$ converge en loi vers la variable aléatoire $X$ et on note $X_{n}\xrightarrow{\mathcal{L}}X$ si et seulement si : $$\ds\forall x\in\mathcal{D}_{X},\;\lim_{n\to+\infty}{F_{X_{n}}(x)}=F_{X}(x)$$où $\mathcal{D}_{X}$ désigne l'ensemble des points de continuité de la fonctio…

Convergence en probabilité

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-06-24T07:43:25+00:00

Suites de VAR > Convergence en probabilité Convergence en loi Convergence en probabilité Inégalités probabilistes Théorème : Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev Soit $X$ une variable aléatoire discrète ou à densité. * Inégalité de Markov Si $X$ est à valeurs positives et admet une espérance alors :$$\ds\forall a\in\left]0,+\infty\right[,\;\mathbb{P}(X\geqslant a)\leqslant\frac{\mathbb{E}(X)}{a}$$$r\in\left]0,+\infty\right[$$|X|^{r}$$$\ds\fo…

Convexité ou concavité sur un intervalle

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T19:19:13+00:00

Fct num > Fct/Appl Limites Asymptote Continuité Dérivabilité Convexité Convexité ou concavité sur un intervalle Définition * On dit qu'une fonction $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si : $$\ds\forall(x,y)\in I^{2},\;\forall\lambda\in[0,1],\; f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leqslant\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$$ * On dit que $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $-f$ est convexe sur $I$ c'est à dire si et seulement si: $$\ds\forall(x,y)\in I^{2},\;\forall\lambda\in[0,1],\; f(\l…

Couples de variables aléatoires discrètes

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-25T08:31:51+00:00

Couple aléa > Généralités Couples discrets Somme indép Transfert Covariance Couples de variables aléatoires discrètes Théorème Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes définies sur un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$. * La loi du couple est donnée par l'ensemble : $$\ds\left\{ \left.\left(x,y,\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])\right)\,\right|\; x\in X(\Omega),y\in Y(\Omega)\right\}$$ * $X$ et $Y$ sont indépendantes si et seulement si : $$\ds\forall(x,y)\in X(\…

Couples

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T19:19:13+00:00

Couples densité > Couples Somme Somme lois usuelles Espérance/variance Couples Dans tout ce chapitre, on considère un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$. Définitions : Rappels Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à densité définies sur le même espace probabilisé. * On appelle loi du couple aléatoire $(X,Y)$ la donnée de la fonction $F_{(X,Y)}\colon\R^{2}\to\R$$$\ds \forall(x,y)\in\R^{2},\; F_{(X,Y)}(x,y)=\mathbb{P}([X\leqslant x]\cap[Y\leqslant y])$$$X$$Y$$F_{(X…

Covariance

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2024-02-22T22:23:59+00:00

Couple aléa > Généralités Couples discrets Somme indép Transfert Covariance Covariance Définition Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires discrètes définies sur un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ admettant chacune une espérance. * On appelle covariance des deux variables aléatoires l'espérance, si elle existe, de la variable aléatoire $(X-\mathbb{E}(X))(Y-\mathbb{E}(Y))$$$\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}\big((X-\mathbb{E}(X))(Y-\mathbb{E}(Y))\big)$$$X$$Y$$(X,Y)…

Convergence et divergence

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-12T13:46:31+00:00

Suites, Séries > Suites Cv, Dv Comp Asymp Séries Termes >0 Signe qcq Doubles Convergence et divergence Définition : Limite et convergence Soit $(u_{n})_{n\geqslant p}$ une suite réelle. * On dit que la suite $(u_{n})$ admet le réel $\boldsymbol{\ell}$ pour limite si et seulement si : $$\forall\varepsilon>0,\;\exists n_{0}\geqslant p\;/\;\forall n\geqslant n_{0},\;|u_{n}-\ell|\leqslant\varepsilon$$On note alors $\ds \lim_{n\to+\infty}{u_{n}}=\ell$…

Densité par transfert

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T19:19:13+00:00

Var densité > Généralités Lois usuelles Transfert Espérance Variance Densité par transfert Théorème : Théorème de transfert, première partie Soit $X$ une variable aléatoire à densité dont une densité $f_{X}$ est nulle en dehors de l'intervalle $]a,b[$ de $\R$ (avec $-\infty\leqslant a

Dérivabilité sur un intervalle

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-12T07:41:23+00:00

Fct num > Fct/Appl Limites Asymptote Continuité Dérivabilité Convexité Dérivabilité sur un intervalle Différents nombres dérivés en un point Définition Soit $f\colon I\to\R$ et $x_{0}\in I$. * On dit que $f$ est dérivable en $x_{0}$ si et seulement si le taux d'accroissement $\ds\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $x_{0}$ et on appelle $f$$x_{0}$$$\ds f'(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim_{h\to0}{\frac{f(x_{0}+h)-f(x_…

Dérivée seconde directionnelle

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T19:19:14+00:00

Fonctions sur ouvert de R^n > Topologie R^n C^0 / C^1 sur ouvert de R^n Classe C^2 sur ouvert de R^n Dérivée seconde direct Dérivée seconde directionnelle Théorème Soit $A$ un point d'un ouvert $\mathcal{O}$ de $\R^{n}$, $\vv{u}$ un vecteur non nul de $\R^{n}$, $I$ un intervalle de $\R$ contenant 0 et tel que $\left\{ A+t\vv{u}\mid t\in I\right\} \subset\mathcal{O}$. Soit $f\colon\mathcal{O}\to\R$. On pose : $$\forall …

Dérivées directionnelles en un point

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-12-07T22:32:24+00:00

Fct sur R^n > Généralités Continuité Dériv part Classe C^1 Dériv direc Extremum Dérivées directionnelles en un point Définition: Droite de l'espace affine Soit $A$ un point de $\R^{n}$ et $\vv{u}$ un vecteur non nul de $\R^{n}$. * On appelle droite passant par $\boldsymbol{A}$ et de vecteur directeur $\boldsymbol{\vv{u}}$ l'ensemble : $$\ds d_{A,\vv{u}}=\left\{ M\in\R^{n}\mid\vv{AM}\in\mathrm{Vect}(\vv{u})\right\} =\left\{ A+t\vv{u}\mid t\in\R\right\}$$ * L'application $\R\to\R^{n…

Dérivées partielles d'ordre 1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-06-21T22:06:42+00:00

Fct sur R^n > Généralités Continuité Dériv part Classe C^1 Dériv direc Extremum Dérivées partielles d'ordre 1 Dans ce paragraphe et les suivants, toutes les fonctions seront supposées définies et continues sur $\R^{n}$. Dérivées partielles en un point Définition * Soit $i\in\llbracket1,n\rrbracket$. On dit que $f$ admet une dérivée partielle d'ordre 1 par rapport à la$\boldsymbol{i}$$\boldsymbol{A}$$t\mapsto f(a_{1},\dots,a_{i-1},t,a_{i+1},\dots,a_{n})$$a_{i}$$$\begin{array}{rcl} …

Généralités sur les endomorphismes symétriques

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-06-22T08:50:36+00:00

Endomorphisme symétrique > Généralités Réduction Forme quadratique Généralités sur les endomorphismes symétriques Dans tout ce chapitre, $\left(E,\left\langle .,.\right\rangle \right)$ désigne un espace euclidien de dimension finie $n$. Définition On dit qu'un endomorphisme $u$ de $E$ est symétrique si et seulement si : $$\ds\forall(\vv{x},\vv{y})\in E^{2},\;\left\langle u(\vv{x}),\vv{y}\right\rangle =\left\langle \vv{x},u(\vv{y})\right\rangle$$ Remarque En fait, on montre que toute app…

Endomorphismes et matrices diagonalisables

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T19:19:14+00:00

Réduction endomorphismes > Valeurs propres Lien avec matrices Endo diag Réduction Endomorphismes et matrices diagonalisables Théorème : Endomorphisme diagonalisable On suppose que $E$ est de dimension finie. Soit $u\in\mathcal{L}(E)$. Les propositions suivantes sont équivalentes : * $\ds\dim(E)=\sum_{\lambda\in\mathrm{Sp}(u)}{\dim(E_{\lambda}(u))}$, * $\ds E=\bigoplus_{\lambda\in\mathrm{Sp}(u)}{E_{\lambda}(u)}$, * il existe …

Vocabulaire des ensembles

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T19:19:14+00:00

Ensembles > Logique Voc Ens Tribu N, Z, Q R C, Trigo Polynômes Matrices Matrices carrées Systèmes Vocabulaire des ensembles Définitions : Élément, ensemble, sous-ensemble * Un ensemble $E$ est une collection (ou famille) d'objets appelés éléments. Si cet ensemble ne contient aucun élément, on l'appelle ensemble vide$\varnothing$$x$$E$$x$$E$$x\in E$$x$$E$$x\notin E$$A$$E$$A$$E$$A$$E$$$\forall x\in A,\ x\in E$$$A\subset E$$E$$A$$E\supset A$$E$$\mathcal{P}(E)$$A$$B$$A\subset B$$B\su…

Espace probabilisé

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-13T22:33:59+00:00

V.A.R.D. > Esp prob Cond, indép Var aléa discr Espé, var Lois usuelles Espé condi Espace probabilisé Définitions : Rappels de vocabulaire * Expérience aléatoire : expérience dont on connaît éventuellement l'ensemble des résultats possibles, appelé univers et noté $\Omega$, mais dont on ne peut prédire le résultat final, appelé $\mathcal{A}$$\mathcal{A}=\mathcal{P}(\Omega)$$(A_{i})_{1\leqslant i\leqslant n}$$$\forall(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2},\; i\ne j\;\implies\; A_{i}\cap A_…

Espérance conditionnelle

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T19:19:14+00:00

V.A.R.D. > Esp prob Cond, indép Var aléa discr Espé, var Lois usuelles Espé condi Espérance conditionnelle Théorème Soit $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ un espace probabilisé, $A$ un événement de probabilité non nulle et $X$ une variable aléatoire discrète admettant une espérance (pour $\mathbb{P}$). Alors, la variable $X$ admet une espérance pour $\mathbb{P}_{A}$, c'est à dire dans l'espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P}_{A})$$(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$$A$$X$$X$$\ma…

Espérance

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T19:19:14+00:00

Var densité > Généralités Lois usuelles Transfert Espérance Variance Espérance Définition Soit $X$ une variable aléatoire à densité dont $f$ est l'une de ses densités. * On dit que $X$ admet une espérance si et seulement si l'intégrale $\ds\int_{-\infty}^{+\infty}{tf(t)\mathrm{d} t}$ converge absolument. Si $X$ admet une espérance alors on appelle espérance$X$$$\ds\mathbb{E}(X)=m_{1}(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}{tf(t)\mathrm{d} t}$$$X$$X$$\mathbb{E}(X)=0$$X$$\ds f\colon t\mapsto\frac{1…

Espérance et variance

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T19:19:14+00:00

Couples densité > Couples Somme Somme lois usuelles Espérance/variance Espérance et variance Théorème : Linéarité de l'espérance (admis) Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à densité admettant une espérance. Alors, pour tout couple $(\lambda,\mu)$ de réels, la variable aléatoire $\lambda X+\mu Y$ admet une espérance et on a : $$\ds\mathbb{E}(\lambda X+\mu Y)=\lambda\mathbb{E}(X)+\mu\mathbb{E}(Y)$$ $X$$X(\Omega)\subset\R^{+}$$\mathbb{E}(X)\geqslant0$$X$$Y$$\mathbb{P}(X\leqslant Y)=1$…

Espérance et variance

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T19:19:14+00:00

Vecteurs aléatoires > Lois d'un vecteur Indépendance mutuelle Espérance et variance Espérance et variance Théorème : Linéarité de l'espérance (admis) * Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires (discrètes, à densité ou non) admettant une espérance. Alors, pour tout couple $(\lambda,\mu)$ de réels, la variable aléatoire $\lambda X+\mu Y$ admet une espérance et on a :$$\mathbb{E}(\lambda X+\mu Y)=\lambda\mathbb{E}(X)+\mu\mathbb{E}(Y)$$$X_{1},\dots,X_{n}$$n$$(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})…

Espérance et variance

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-14T12:43:02+00:00

V.A.R.D. > Esp prob Cond, indép Var aléa discr Espé, var Lois usuelles Espé condi Espérance et variance Définition * On appelle moment (resp. moment centré) d'ordre $r\in\N^{*}$ de la variable aléatoire $X$ le réel : $$\ds m_{r}(X)=\sum_{x\in X(\Omega)}{x^{r}\mathbb{P}(X=x)}$$sous réserve de convergence absolue de cette série lorsque $X(\Omega)$ est dénombrable. Le moment d'ordre 1 est aussi appelé $X$$\mathbb{E}(X)$$r\in\N^{*}$$X$$$\ds\mu_{r}(X)=\sum_{x\in X(\Omega)}{(x-\mathbb{E}(X)…

Second exemple

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T19:19:15+00:00

Estimation > Intro Ex 1 Ex 2 Problématique Estimation ponctuelle Estimation intervalle Second exemple On considère la famille de lois $\mathcal{U}([a,b])$ dont le paramètre $\theta=(a,b)\in\R^{2}$ est inconnu. On souhaiterait obtenir une estimation de l'étendue $b-a$ de l'intervalle $[a,b]$. Pour cela, on considère un échantillon $(X_{1},\dots,X_{n})$ mutuellement indépendant et identiquement distribué selon la loi $\mathcal{U}([a,b])$$(X_{1}(\omega),\dots,X_{n}(\omega))$$$\ds E_{n}(\om…

Estimation par intervalle de confiance

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-03-05T19:58:48+00:00

Estimation > Intro Ex 1 Ex 2 Problématique Estimation ponctuelle Estimation intervalle Estimation par intervalle de confiance Généralités S'il existe des critères pour juger des qualités d'un estimateur ponctuel (biais, risque, convergence), aucune certitude ne peut jamais être apportée quant au fait que l'estimation donne la vraie valeur à estimer. Nous allons donc rechercher un intervalle aléatoire qui contient $g(\theta)$$U_{n}=\varphi_{n}(X_{1},\dots,X_{n})$$V_{n}=\psi_{n}(X_{1},\d…

Premier exemple

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-05-02T22:11:50+00:00

Estimation > Intro Ex 1 Ex 2 Problématique Estimation ponctuelle Estimation intervalle Premier exemple Présentation de la situation Soit $p\in\left]0,1\right[$ fixé mais inconnu (on va le tirer au sort lors d'une simulation). L'objectif est de construire un test qui permettra, à l'aide d'un échantillon représentatif de ce test, d'estimer ce nombre $p$$p$$(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$$k\geqslant1$$X_{k}$$k$$X_{k}$$\mathcal{B}(1,p)$$\omega$$n$$(X_{1}(\omega),\dots,X_{n}(\omega))$$\bol…

Estimation ponctuelle

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-03-05T19:56:29+00:00

Estimation > Intro Ex 1 Ex 2 Problématique Estimation ponctuelle Estimation intervalle Estimation ponctuelle Notion d'estimateur Définition Soit $\theta\in\Theta$ et $n\in\N^{*}$. * On dit qu'une variable aléatoire $T_{n}$ est un estimateur de $g(\theta)$ si et seulement s'il existe une statistique $\varphi_{n}\colon\R^{n}\to\R$, indépendante de $\theta$, sur le $n$-échantillon $(X_{1},\dots,X_{n})$ telle que $T_{n}=\varphi_{n}(X_{1},\dots,X_{n})$. En faisant varier $n$$g(\theta)$$g…

Espaces et sous-espaces vectoriels

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-11T21:43:04+00:00

Esp vect > Ev, Sev Fam vect Mat passage Somme sev Espaces et sous-espaces vectoriels Définition * Soit $E$ un ensemble non vide. Un triplet $(E,+,\cdot)$ est appelé $\boldsymbol{\K}$-espace vectoriel si et seulement si les opérations : $$\ds\begin{array}{ccccc} + & \colon & E\times E & \to & E\\ & & \left(\vv{x},\vv{y}\right) & \mapsto & \vv{x}+\vv{y}\\ \cdot & \colon & \K\times E & \to & E\\ & & \left(\lambda,\vv{x}\right) & \mapsto & \lambda\cdot\vv{x} \end{array}$$vérifient les …

Condition suffisante d'existence d'un extremum global

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T19:19:15+00:00

Extrema > Extremum global Extremum local sur un ouvert Extremum sous contrainte Condition suffisante d'existence d'un extremum global Définition Soit $f$ une fonction définie sur une partie $\mathcal{U}$ de $\R^{n}$. Soit $A$ un point de $\mathcal{U}$. * On dit que $f$ admet un maximum (resp. minimum) global en $A$ sur $\mathcal{U}$ si et seulement si : $$\ds\forall M\in\mathcal{U},\; f(M)\leqslant f(A)\qquad\text{resp.}\; f(M)\geqslant f(A)$$ * On dit que $f$ admet un $A$$$\ds\exists…

Conditions d'existence d'un extremum local sur un ouvert

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T19:19:15+00:00

Extrema > Extremum global Extremum local sur un ouvert Extremum sous contrainte Conditions d'existence d'un extremum local sur un ouvert Condition nécessaire d'ordre 1 Définition Soit $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur un ouvert $\mathcal{O}$ de $\R^{n}$. On dit qu'un point $A$ de $\mathcal{O}$ est un point critique de la fonction $f$ si et seulement si $\nabla f(A)=\vv{0}$. Remarque$A$$f$$A$$$\ds f(A+H)=f(A)+\|H\|\varepsilon(H)$$$\varepsilon(O)=0$$\varepsilon$$O$$f$$\mathc…

Extremum sous contrainte

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T19:19:15+00:00

Extrema > Extremum global Extremum local sur un ouvert Extremum sous contrainte Extremum sous contrainte Contrainte quelconque Définition Soit $\varphi$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur un ouvert $\mathcal{O}$ de $\R^{n}$. Soit $c\in\R$. On pose : $$\ds\mathcal{C}=\left\{ M\in\mathcal{O}\mid\varphi(M)=c\right\} $$Soit $f\colon\mathcal{O}\to\R$. * L'ensemble $\mathcal{C}$ est appelé contrainte. * On dit que $\mathcal{C}$ est une contrainte non critique si et seulement si :…

Familles de vecteurs

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-11T22:16:02+00:00

Esp vect > Ev, Sev Fam vect Mat passage Somme sev Familles de vecteurs Définition Soit $\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_n}\right)$ une famille de vecteurs de $E$. * Cette famille est dite libre dans $E$ (ou linéairement indépendante) si et seulement si : $$\ds\forall(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\in\K^{n},\quad\big[\lambda_{1}\vv{x_1}+\dots+\lambda_{n}\vv{x_n}=\vv{0_E}\quad\implies\quad\lambda_{1}=\dots=\lambda_{n}=0\big]$$ Dans le cas contraire, la famille est dite liée. * Cette famille…

Familles orthogonales et orthonormales

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2024-02-21T21:11:22+00:00

Esp Eucli > Prod scal Norme Ortho Fam ortho Bases ortho Supplé ortho Familles orthogonales et orthonormales Définition Soit $\varphi$ un produit scalaire sur $E$. * On dit qu'une famille $(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p})$ de vecteurs est $\varphi$-orthogonale si et seulement si ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux. * On dit qu'une famille $(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p})$ de vecteurs est $\varphi$$\R^{n}$$\R^{n}$$\left\langle .,.\right\rangle $$E$$(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p})$$(\vv{x_1},\dot…

Fonction de classe C^2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-06-22T08:45:29+00:00

Fonctions sur ouvert de R^n > Topologie R^n C^0 / C^1 sur ouvert de R^n Classe C^2 sur ouvert de R^n Dérivée seconde direct Fonction de classe C^2 Dérivées partielles d'ordre 2 Définition Soit $\mathcal{O}$ un ouvert de $\R^{n}$. Soit $(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2}$. Soit $f\colon\mathcal{O}\to\R$ admettant une fonction dérivée partielle $\partial_{i}(f)$ d'ordre 1 sur $\mathcal{O}$. * On dit que $f$ admet une dérivée partielle d'ordre 2 par rapport à la variable numéro $i$$j$$A…

Fonctions de classe C^1 sur R^n

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T19:19:15+00:00

Fct sur R^n > Généralités Continuité Dériv part Classe C^1 Dériv direc Extremum Fonctions de classe C^1 sur R^n Fonctions de classe C^1 Définition On dit que $f$ est de classe $\boldsymbol{\mathcal{C}^{1}}$ sur $\R^{n}$ si et seulement si $f$ admet des fonctions dérivées partielles par rapport à chaque variable sur $\R^{n}$ qui sont aussi continues sur $\R^{n}$. Théorème : Opérations sur les fonctions de classe C^1$f$$g$$\mathcal{C}^{1}$$\R^{n}$$(\lambda,\mu)\in\R^{2}$$\varphi$$\math…

Fonctions numériques définies sur R^n

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-06-21T21:54:58+00:00

Fct sur R^n > Généralités Continuité Dériv part Classe C^1 Dériv direc Extremum Fonctions numériques définies sur R^n Dans ce chapitre : * $n$ désigne un entier supérieur ou égal à 2. * On rappelle que la base canonique $(\vv{e_1},\dots,\vv{e_n})$ de $\R^{n}$ (resp. $(\vv{e_1},\dots,\vv{e_n},\vv{e_{n+1}})$ de $\R^{n+1}$) est orthonormale pour le produit scalaire euclidien de $\R^{n}$ (resp. $\R^{n+1}$). On note $\left\langle .,.\right\rangle$$\|.\|$$\R^{n}$$\mathcal{R}_{n}=(O,\vv{…

Formes quadratiques

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-06-22T09:11:26+00:00

Endomorphisme symétrique > Généralités Réduction Forme quadratique Formes quadratiques Définition On appelle forme quadratique associée à un endomorphisme symétrique $u$ de $E$ l'application : $$q\colon E\to\R,\;\vv{x}\mapsto\left\langle u(\vv{x}),\vv{x}\right\rangle$$ Théorème Soit $u$ un endomorphisme symétrique de $E$, $\mathcal{B}$ une base orthonormale de $E$ et $A=\text{Mat}_{\mathcal{B}}(u)$. Pour $\vv{x}\in E$, on note $X=\text{Mat}_{\mathcal{B}}(\vv{x})$. Si $q$ désigne la forme …

Généralités sur les séries

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-14T11:50:01+00:00

Suites, Séries > Suites Cv, Dv Comp Asymp Séries Termes >0 Signe qcq Doubles Généralités sur les séries

Généralités sur les suites

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-12T13:44:52+00:00

Suites, Séries > Suites Cv, Dv Comp Asymp Séries Termes >0 Signe qcq Doubles Généralités sur les suites u_{n}$$u_{n+1}\leqs…

Généralités sur les applications linéaires

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2024-02-24T15:46:31+00:00

Appli liné > Généralités Poly annul Matrice Chang base Généralités sur les applications linéaires Dans ce paragraphe, $E$ et $F$ sont deux $\K$-espaces vectoriels. Définition * Une application $u\colon E\to F$ est dite linéaire si et seulement si : $$\forall(\lambda,\mu)\in\K^{2},\;\forall\left(\vv{x},\vv{y}\right)\in E^{2},\; u\left(\lambda\vv{x}+\mu\vv{y}\right)=\lambda u\left(\vv{x}\right)+\mu u\left(\vv{y}\right)$$L'ensemble des telles applications linéaires est noté $\mathcal{L}(…

Généralités sur les couples de variables aléatoires

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T19:19:16+00:00

Couple aléa > Généralités Couples discrets Somme indép Transfert Covariance Généralités sur les couples de variables aléatoires Définition : Loi d'un couple de variables aléatoires Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires (discrètes ou non) d'un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ * On appelle tribu associée au couple aléatoire $(X,Y)$$\mathcal{A}_{(X,Y)}$$\left([X\leqslant x]\cap[Y\leqslant y]\right)_{(x,y)\in\R^{2}}$$(X,Y)$$F_{(X,Y)}\colon\R^{2}\to\R$$$\ds\forall(x…

Généralités sur les variables à densité

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-06-14T19:32:15+00:00

Var densité > Généralités Lois usuelles Transfert Espérance Variance Généralités sur les variables à densité Première situation : Soit la courbe d'une fonction $F$ : function y=F(x) if x<-0.5 y=0.25*exp(x+0.5) elseif x<0.5 y=0.25 elseif x<2.5 y=0.25+sqrt(0.25-0.0625*(x-2.5).^2) else y=1-0.25*exp(2.5-x) end endfunction // paramètres du graphique a=get("current_axes") a.x_location="origin" a.y_location="origin" a.box="off" a.data_bound…

Indépendance mutuelle

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-06-22T08:38:06+00:00

Vecteurs aléatoires > Lois d'un vecteur Indépendance mutuelle Espérance et variance Indépendance mutuelle Définition : Indépendance de n variables aléatoires Soit $X_{1},\dots,X_{n}$ des variables aléatoires (discrètes, à densité ou non) de $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$. On dit que les variables aléatoires $X_{1},\dots,X_{n}$ sont mutuellement indépendantes si et seulement si : $$\forall(x_{1},\dots,x_{n})\in\R^{n},\; F_{(X_{1},\dots,X_{n})}(x_{1},\dots,x_{n})=F_{X_{1}}(x_{1})\times\do…

Conditionnement et indépendance

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2024-02-22T22:19:27+00:00

V.A.R.D. > Esp prob Cond, indép Var aléa discr Espé, var Lois usuelles Espé condi Conditionnement et indépendance Définition : Probabilité conditionnelle, indépendance Soit $A$ et $B$ deux événements d'un même espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$. * On suppose que $\mathbb{P}(A)\ne0$. On appelle probabilité de l'événement $B$ conditionnée par l'événement$A$$$\ds\mathbb{P}_{A}(B)=\frac{\mathbb{P}(B\cap A)}{\mathbb{P}(A)}$$$A$$B$$\mathbb{P}$$$\ds\mathbb{P}(A\cap B)=\math…

Index des notions

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T19:19:16+00:00

Sommaire du coursMaths en ECS2Accueil Index des notions (à jour jusqu'à la page 4.2.1. incluse) A * Adjacentes (suites) * Ajustement (droite d') B * Base canonique * matrices * polynômes * Binôme de Newton * matrices * polynômes * Borne supérieure/inférieure C * Caractère * Centile * Complexes * argument * De Moivre (formule de) * définition * Euler (formule d') * forme algébrique * forme exponentielle * forme trigonométrique * module …

Mathématiques ECG2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2024-02-14T21:58:03+00:00

Accueil Mathématiques ECG2 Documents * Le programme officiel : * [1ère année (concours 2023+)], [2nde année (concours 2023+)] * [1ère année (concours 2015 à 2022)], [2nde année (concours 2015 à 2022)] * [1ère année (concours 2005 à 2014)], [2nde année (concours 2005 à 2014)] * Sujets de concours : * depuis 2008 : Sujets et quelques rapports de jury * jusqu'à 2008 : ? Programme 2015-2022 Chapitre 01 Ensembles * Rappels de logique * Vocabulaire des ensembles * No…

Cas des fonctions positives

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2024-02-24T15:55:31+00:00

Intégrales > Int. seg. Calculs Int. géné. Propriétés Int.fct >0 Int. fct sgn var Cas des fonctions positives Théorème On suppose que $f$ est continue et positive sur $\left[a,b\right[$. Alors, l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ converge si et seulement si l'application $\ds x\mapsto\int_{a}^{x}{f(t)\mathrm{d} t}$ (primitive de $f$ sur $[a,b[$ s'annulant en $a$) est majorée sur $\left[a,b\right[$. Remarque Lorsque l'intégrale sur $\left[a,b\right[$$f$$\left[a,b\right[$$b$$…

Cas des fonctions de signe variable

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-25T16:50:09+00:00

Intégrales > Int. seg. Calculs Int. géné. Propriétés Int.fct >0 Int. fct sgn var Cas des fonctions de signe variable Définition On suppose que $f$ est continue sur $\left[a,b\right[$. * On dit que l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ est absolument convergente (ou bien qu'elle converge absolument) si et seulement si l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{|f(t)|\mathrm{d} t}$ converge. * On dit que l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$$\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$$\…

Intégrales généralisées ou intégrales impropres

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-10-14T13:21:34+00:00

Intégrales > Int. seg. Calculs Int. géné. Propriétés Int.fct >0 Int. fct sgn var Intégrales généralisées ou intégrales impropres Définition : Intégrale généralisée * On suppose que $f$ est définie et continue sur $\left[a,b\right[$ (resp. $\left]a,b\right]$) avec $a\in\R$ et $b\in\left]a,+\infty\right[\cup\{+\infty\}$ (resp. $b\in\R$ et $a\in\left]-\infty,b\right[\cup\{-\infty\}$). * L'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ est qualifiée d'impropre en la borne $b$ (resp en …

Intégrale sur un segment

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2024-02-24T15:51:46+00:00

Intégrales > Int. seg. Calculs Int. géné. Propriétés Int.fct >0 Int. fct sgn var Intégrale sur un segment Définition Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction dérivable sur $I$ telle que : $F'=f$. Théorème Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$$\mathcal{C}^1$$I$$f$$I$$(a,b)\in I^{2}$$a\leqslant b$$f$$[a,b]$$$\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}=F(b)-F(a)$$$F$$f$$I$$F$$f$$I$$a\in I$$\ds x\maps…

Introduction

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T21:11:29+00:00

Estimation > Intro Ex 1 Ex 2 Problématique Estimation ponctuelle Estimation intervalle Introduction * Voici les résultats de 100 réalisations d'une certaine loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ où $\lambda$ est inconnu : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 21 & 27 & 13 & 20 & 20 & 23 & 23 & 12 & 19 & 23 & 18 & 15 & 17 & 18 & 27 & 28 & 21 & 18 & 14 & 18 \\ \hline 20 & 16 & 28 & 23 & 12 & 16 & 15 & 22 & 18 & 23 & 25 & 17 & 17 & 21 & 17 & 19 & 15 & 22 & 18 …

Polynômes

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-12T06:20:08+00:00

Ensembles > Logique Voc Ens Tribu N, Z, Q R C, Trigo Polynômes Matrices Matrices carrées Systèmes Polynômes Définitions : Généralités sur les polynômes * On dit que $P$ est un polynôme à coefficients dans $\boldsymbol{\K}$ d'indéterminée $\boldsymbol{X}$ si et seulement si : $$\exists n\in\N,\;\exists(a_{0},\dots,a_{n})\in\K^{n+1}\;/\; P=a_{n}X^{n}+\dots+a_{1}X+a_{0}=\sum_{k=0}^{n}{a_{k}X^{k}}$$On note aussi parfois $P(X)$ ce polynôme. Cette écriture n'est pas unique : $$P=a_{n}X…

Limites, continuité en un point

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-11T22:37:52+00:00

Fct num > Fct/Appl Limites Asymptote Continuité Dérivabilité Convexité Limites, continuité en un point Dans tout ce chapitre, $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$ et $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère. Limite et continuité en un point Définitions : Limite en un point Soit $x_{0}$ un réel tel que, ou bien $x_{0}\in I$$x_{0}\notin I$$x_{0}$$I$$f$$\ell$$x_{0}$$$\ds\forall\varepsilon>0,\;\exists\alpha>0\;/\;\forall x\in I\cap[x_{0}-\alpha,x_{0}…

Logique

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T20:13:30+00:00

Ensembles > Logique Voc Ens Tribu N, Z, Q R C, Trigo Polynômes Matrices Matrices carrées Systèmes Logique Rappel : Alphabet grec $\alpha$ alpha $\beta$ beta $\gamma$ gamma $\Gamma$ Gamma $\delta$ delta $\Delta$ Delta $\varepsilon$ ou $\epsilon$ epsilon $\zeta$ zeta $\eta$ eta $\theta$ theta $\Theta$ Theta $\lambda$ lambda $\Lambda$ Lambda $\mu$ mu $\nu$ nu $\pi$ pi $\Pi$ Pi $\rho$ rho $\sigma$ sigma $\Sigma$ Sigma $\tau$ tau …

Lois discrètes usuelles

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-13T22:23:40+00:00

V.A.R.D. > Esp prob Cond, indép Var aléa discr Espé, var Lois usuelles Espé condi Lois discrètes usuelles Définition : Lois discrètes finies usuelles * Loi uniforme : Soit $(a,b)\in\Z^{2}$ tel que $a\leqslant b$. $X\hookrightarrow\mathcal{U}(\llbracket a,b\rrbracket)$ si et seulement si : $$\ds X(\Omega)=\llbracket a,b\rrbracket\qquad\text{et}\qquad\forall k\in X(\Omega),\;\mathbb{P}(X=k)=\frac{1}{b-a+1}$$ * Loi de Bernoulli : Soit $p\in\left]0,1\right[$. $X\hookrightarrow\mathcal{B…

Lois usuelles à densité

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-06-14T19:44:23+00:00

Var densité > Généralités Lois usuelles Transfert Espérance Variance Lois usuelles à densité Loi uniforme Théorème : Cas particulier et cas général Les fonctions $1\!\!1_{[0,1]}\colon x\mapsto\begin{cases} 0 & \text{si}\; x\notin[0,1]\\ 1 & \text{si}\; x\in[0,1] \end{cases}$ et plus généralement $\ds\frac{1}{b-a}1\!\!1_{[a,b]}\colon x\mapsto\begin{cases} 0 & \text{si}\; x\notin[a,b]\\ \ds\frac{1}{b-a} & \text{si}\; x\in[a,b] \end{cases}$ pour $(a,b)\in\R^{2}$ avec $a

Lois d'un vecteur aléatoire

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T19:19:17+00:00

Vecteurs aléatoires > Lois d'un vecteur Indépendance mutuelle Espérance et variance Lois d'un vecteur aléatoire Définition : Loi d'un couple de variables aléatoires Soit $X_{1},\dots,X_{n}$ des variables aléatoires (discrètes, à densité ou non) de $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$. * On appelle tribu associée au vecteur aléatoire $(X_{1},\dots,X_{n})$ la tribu notée $\mathcal{A}_{(X_{1},\dots,X_{n})}$ engendrée par les événements $\left([X_{1}\leqslant x_{1}]\cap\dots\cap[X_{n}\leqslant…

Matrice de passage entre deux bases

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T22:28:22+00:00

Esp vect > Ev, Sev Fam vect Mat passage Somme sev Matrice de passage entre deux bases Dans ce paragraphe, $E$ est un espace vectoriel de dimension $n$ (avec $n\geqslant1$). Définition On appelle matrice de passage de la base $\mathcal{B}$ à la base $\mathcal{B}'$ la matrice $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ de $\mathcal{M}_n(\K)$ dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de $\mathcal{B}'$$\mathcal{B}$$\mathcal{B}=(1,X,X^{2})$$\R_{2}[X]$$(a,b)$$\mathcal{B}'=\left(1,X-a,(X-a)^{2}\ri…

Matrice d'une application linéaire

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-06-05T08:45:09+00:00

Appli liné > Généralités Poly annul Matrice Chang base Matrice d'une application linéaire Soit $E$ et $F$ deux espaces vectoriels sur $\K$ de dimensions respectives $n$ et $p$. Soit $\mathcal{B}_{E}=\left(\vv{e_1},\dots,\vv{e_n}\right)$ une base de $E$. Soit $\mathcal{B}_{F}=\left(\vv{f_1},\dots,\vv{f_p}\right)$ une base de $F$. Définition On appelle matrice de l'application linéaire $u\in\mathcal{L}(E,F)$ dans les bases $\mathcal{B}_{E}$ et $\mathcal{B}_{F}$ la matrice, notée $\mathrm{M…

Cas des matrices carrées

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-12-10T21:53:38+00:00

Ensembles > Logique Voc Ens Tribu N, Z, Q R C, Trigo Polynômes Matrices Matrices carrées Systèmes Cas des matrices carrées Définition Définitions : Types particuliers de matrices * Une matrice $A$ carrée d'ordre $n$ est dite diagonale si et seulement si : $$\forall(i,j)\in[\![1,n]\!]^{2},\; i\ne j\;\implies\; a_{i,j}=0$$ On la note souvent $\text{diag}(a_{1,1},a_{2,2},\dots a_{n,n})$. * Une matrice $A$ carrée d'ordre $n$ est dite triangulaire supérieure$$\forall(i,j)\in[\![1,n…

Matrices

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-08-30T21:43:44+00:00

Ensembles > Logique Voc Ens Tribu N, Z, Q R C, Trigo Polynômes Matrices Matrices carrées Systèmes Matrices Définitions * Soit $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls. On appelle matrice (rectangulaire) à $n$ lignes et $p$ colonnes tout tableau de scalaires de la forme : $$\ds\begin{pmatrix}a_{1,1} & \ldots & a_{1,p}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{n,1} & \ldots & a_{n,p} \end{pmatrix}$$ où l'on a : $$\ds\forall i\in[\![1,n]\!],\;\forall j\in[\![1,p]\!],\; a_{i,j}\in\K$$ ($i$ est le n…

Norme

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2024-02-21T21:10:07+00:00

Esp Eucli > Prod scal Norme Ortho Fam ortho Bases ortho Supplé ortho Norme Définition Soit $\varphi$ un produit scalaire sur $E$. * On appelle norme associée au produit scalaire $\varphi$ l'application $\|.\|\colon E\to\R^{+}$ définie par : $$\ds\forall\vv{x}\in E,\;\|\vv{x}\|=\sqrt{\varphi(\vv{x},\vv{x})}$$ * On dit d'un vecteur $\vv{x}$ de $E$ qu'il est unitaire pour la norme $\|.\|$ si et seulement si $\|\vv{x}\|=1$. Remarque Attention à ne pas confondre les deux interprétat…

Nombres entiers et récurrence, nombres rationnels

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-12T06:29:44+00:00

Ensembles > Logique Voc Ens Tribu N, Z, Q R C, Trigo Polynômes Matrices Matrices carrées Systèmes Nombres entiers et récurrence, nombres rationnels On rappelle que $\N$ désigne l'ensemble des entiers naturels, $\Z$ celui des entiers relatifs et $\Q$ celui des nombres rationnels (on ne rappelle pas les opérations entre leurs éléments). Rappelons par contre que, si $a$$b$$a\leqslant b$$[\![ a,b]\!]$$n$$a\leqslant n\leqslant b$$[\![ a,b]\!]=[a,b]\cap\Z$$[\![ a,+\infty[\![$$n$$a\leqslan…

Orthogonalité

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2024-02-21T21:10:44+00:00

Esp Eucli > Prod scal Norme Ortho Fam ortho Bases ortho Supplé ortho Orthogonalité Dans ce paragraphe, $\varphi$ est un produit scalaire sur $E$. Définition * On dit que deux vecteurs $\vv{x}$ et $\vv{y}$ sont orthogonaux pour le produit scalaire $\varphi$ (ou bien qu'il sont $\varphi$-orthogonaux) si et seulement si : $$\varphi(\vv{x},\vv{y})=0$$et on note : $\vv{x}\perp\vv{y}$. * Soit $F$$G$$E$$F$$G$$\varphi$$F\perp G$$F$$G$$$\ds\forall\vv{x}\in F,\;\forall\vv{y}\in G,\;\varphi…

Condition nécessaire d'ordre 1 d'existence d'un extremum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T19:19:18+00:00

Fct sur R^n > Généralités Continuité Dériv part Classe C^1 Dériv direc Extremum Condition nécessaire d'ordre 1 d'existence d'un extremum Définition Soit $f$ est définie sur $\R^{n}$. Soit $A$ un point de $\R^{n}$. * On dit que $f$ admet un maximum (resp. minimum) global en $A$ sur $\R^{n}$ si et seulement si : $$\ds\forall M\in\R^{n},\; f(M)\leqslant f(A)\qquad\text{resp.}\; f(M)\geqslant f(A)$$ * On dit que $f$ admet un maximum$A$$$\ds\exists r>0\;/\:\forall M\in\R^{n},\;\|\vv{AM…

Polynômes annulateurs d'un endomorphisme

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2024-02-24T15:49:08+00:00

Appli liné > Généralités Poly annul Matrice Chang base Polynômes annulateurs d'un endomorphisme Définition Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel. Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ et $Q=a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}\in\K[X]$. * L'endomorphisme $Q(u)=a_{0}\mathrm{Id}_{E}+a_{1}u+\dots+a_{n}u^{n}$ est appelé polynôme d'endomorphisme en $u$. * On dit que $Q$ est un polynôme annulateur de $u$ si et seulement si $Q$ n'est pas le polynôme nul et $Q(u)=\Theta_{E}$$X-1$$\mathrm{Id}_{E}$$\Theta_{E}$$\lamb…

Preuve : polynôme et valeur propre

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-06-22T08:22:57+00:00

Retour Preuve : polynôme et valeur propre * Récurrence. * Soit $Q=a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}$ avec $a_{n}\neq0$. Alors : $$\ds (Q(u))(\vv{x})=\sum_{k=0}^{n}{a_{k}\cdot u^{k}(\vv{x})}=\sum_{k=0}^{n}{\left(a_{k}\lambda^{k}\cdot\vv{x}\right)}=\left(\sum_{k=0}^{n}{a_{k}\lambda^{k}}\right)\cdot\vv{x}=Q(\lambda)\cdot\vv{x}$$

Position du problème de l'estimation

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-25T08:48:26+00:00

Estimation > Intro Ex 1 Ex 2 Problématique Estimation ponctuelle Estimation intervalle Position du problème de l'estimation Définition Soit $\Theta$ une partie de $\R$ (éventuellement $\R^{2}$). On considère une famille de lois de probabilités $(\mu_{\theta})_{\theta\in\Theta}$. Soit $g\colon\Theta\to\R$ de sorte que $g(\theta)$ représente une caractéristique de la loi $\mu_{\theta}$ comme son espérance, sa variance, son étendue, $g$$X$$\mu_{\theta}$$\theta$$(x_{1},\dots,x_{n})$$g(\the…

Problèmes de minimalisation

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2024-02-29T15:07:53+00:00

Proj/Sym > Généralités Proj ortho Minimalisation Problèmes de minimalisation Théorème : Caractérisation du projeté orthogonal Soit $p_{F}$ la projection orthogonale sur $F$. Soit $\vv{x}\in E$ et $\vv{y}\in F$. Alors : $$\ds\vv{y}=p_{F}(\vv{x})\;\iff\;\|\vv{y}-\vv{x}\|=\min\left\{ \left.\|\vv{u}-\vv{x}\|\;\right|\,\vv{u}\in F\right\}$$Autrement dit, le vecteur $p_{F}(\vv{x})$ est le vecteur de $F$ tel que la « distance » de $\vv{x}$ à $F$ est minimale. [Illustration] Définition Soit $F$ …

Produit scalaire

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2024-02-21T21:09:29+00:00

Esp Eucli > Prod scal Norme Ortho Fam ortho Bases ortho Supplé ortho Dans tout ce chapitre, $E$ est un espace vectoriel sur $\R$. Produit scalaire Définition On dit qu'une application $\varphi\colon E\times E\to\R$ est un produit scalaire sur $E$ si et seulement si $\varphi$ est une forme : * bilinéaire : $$\ds\forall(\vv{x_1},\vv{x_2},\vv{y})\in E^{3},\forall(\lambda_{1},\lambda_{2})\in\R^{2},\;\varphi(\lambda_{1}\vv{x_1}+\lambda_{2}\vv{x_2},\vv{y})=\lambda_{1}\varphi(\vv{x_1},\vv…

Généralités sur les projecteurs et les symétries

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2024-02-29T15:07:06+00:00

Proj/Sym > Généralités Proj ortho Minimalisation Généralités sur les projecteurs et les symétries Définition Soit $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d'un espace vectoriel $E$. * On appelle projecteur sur $F$ parallèlement à $G$ l'application : $$\begin{array}{ccccc} p & \colon & E=F\oplus G & \to & E=F\oplus G\\ & & \vv{x}=\vv{x_1}+\vv{x_2} & \mapsto & p(\vv{x})=\vv{x_1} \end{array}$$ * On appelle symétrie par rapport à $F$$G$$$\begin{array}{ccccc} s & \colon & …

Projections orthogonales

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2024-02-29T15:07:28+00:00

Proj/Sym > Généralités Proj ortho Minimalisation Projections orthogonales Définition Soit $E$ un espace euclidien. On appelle projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel $F$, notée $p_{F}$, la projection sur $F$ parallèlement à $F^{\perp}$. // plan P de projection // P=Vect(i,j) plot3d([-1,1],[-1,1],[0,0;0,0]) // droite D de direction de projection // D=Vect(k) avec u=(0,0,1)=0.i+0.j+1.k u=[0,0,3] t=[-0.2,1] ; param3d(t*u(1),t*u(2),t*u(3)) // vecteur x à projeter sur P parallèl…

Propriétés des intégrales généralisées

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2024-02-24T15:54:28+00:00

Intégrales > Int. seg. Calculs Int. géné. Propriétés Int.fct >0 Int. fct sgn var Propriétés des intégrales généralisées Théorème On suppose que l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ impropre en $b$ est convergente. Alors, pour toute suite $(u_{n})_{n\in\N}$ d'éléments de $[a,b[$ telle que $u_{n}\xrightarrow[n\to+\infty]{} b$, on a : $$\ds\int_{a}^{u_{n}}{f(t)\mathrm{d} t}\xrightarrow[n\to+\infty]{}\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$$ Remarques * Par contraposition, s'il existe…

Nombres réels

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-12T06:26:57+00:00

Ensembles > Logique Voc Ens Tribu N, Z, Q R C, Trigo Polynômes Matrices Matrices carrées Systèmes Nombres réels Remarques * Les intervalles dits ouverts de $\R$ sont ceux de la forme : $\varnothing$, $\left]-\infty,a\right[$, $\left]a,+\infty\right[$, $\left]a,b\right[$ et $\left]-\infty,+\infty\right[$. * Les intervalles dits fermés de $\R$ ceux de la forme : $\varnothing$, $\left]-\infty,a\right]$, $\left[a,+\infty\right[$, $\left[a,b\right]$ et $\left]-\infty,+\infty\right[…

Réduction des endomorphismes et des matrices symétriques

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-06-22T09:08:27+00:00

Endomorphisme symétrique > Généralités Réduction Forme quadratique Réduction des endomorphismes et des matrices symétriques Cas des endomorphismes symétriques Théorème : Orthogonalité des sous-espaces propres * Si $u$ est un endomorphisme symétrique de $E$ alors ses sous-espaces propres sont deux à deux orthogonaux.$u$$E$$\vv{x_1},\dots,\vv{x_p}$$u$$u$$\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p}\right)$$E$$a\in\R$$u\in\mathcal{L}(\R^{3}…

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-06-22T08:35:16+00:00

Réduction endomorphismes > Valeurs propres Lien avec matrices Endo diag Réduction Réduction des endomorphismes et des matrices carrées Théorème : Théorème fondamental de la réduction des matrices Une matrice $A\in\mathcal{M}_{n}(\K)$ est diagonalisable si et seulement si elle est semblable à une matrice diagonale $D=\textrm{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})$. De plus, si $P\in\mathcal{GL}_{n}(\K)$$D=P^{-1}AP$$\lambda_{…

Séries doubles

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-14T10:20:49+00:00

Suites, Séries > Suites Cv, Dv Comp Asymp Séries Termes >0 Signe qcq Doubles Séries doubles On admet que les manipulations ensemblistes classiques (produits finis, réunions dénombrables) d'ensembles dénombrables fournissent encore des ensembles dénombrables. On remarquera en particulier que l’ensemble $\N\times\N$$I$$\N^{2}$$\N$$I=\left\{ \varphi(n)\mid n\in\N\right\}$$\varphi$$\N$$I$$\ds\sum_{n\geqslant0}{u_{\varphi(n)}}$$\varphi$$\ds\sum_{i\in I}{u_{i}}$$\ds\sum_{(k,\ell)\in\N^{2}}{u…

Séries à termes positifs

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-14T10:02:54+00:00

Suites, Séries > Suites Cv, Dv Comp Asymp Séries Termes >0 Signe qcq Doubles Séries à termes positifs

Séries à termes de signe variable

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-14T12:24:17+00:00

Suites, Séries > Suites Cv, Dv Comp Asymp Séries Termes >0 Signe qcq Doubles Séries à termes de signe variable

Somme de variables aléatoires discrètes indépendantes

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2024-02-22T22:21:54+00:00

Couple aléa > Généralités Couples discrets Somme indép Transfert Covariance Somme de variables aléatoires discrètes indépendantes Théorème : Produit de convolution discret ou loi de la somme Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires discrètes indépendantes définies sur un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$. Alors : $$\ds\forall z\in(X+Y)(\Omega),\;\mathbb{P}(X+Y=z)=\sum_{\substack{x\in X(\Omega)\\ z-x\in Y(\Omega) } }{\mathbb{P}(X=x)\times\mathbb{P}(Y=z-x)}$$ Exem…

Somme de deux lois usuelles à densité indépendantes

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T19:19:19+00:00

Couples densité > Couples Somme Somme lois usuelles Espérance/variance Somme de deux lois usuelles à densité indépendantes Exemples * * Soit $X_{1}$ et $X_{2}$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi $\mathcal{U}([0,1])$. On pose $Y=X_{1}+X_{2}$. * Montrer que $Y$ est une variable aléatoire à densité et en déterminer une densité $g$$G$$X_{3}$$\mathcal{U}([0,1])$$Y$$Z=Y+X_{3}$$Z$$h$$H$$2X_{1}+X_{2}-1$$X$$Y$$X\hookrightarrow\mathcal{E}(\lambda)$$Y\hookrightarrow\mat…

Somme et somme directe de sous-espaces vectoriels

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-11T12:41:14+00:00

Esp vect > Ev, Sev Fam vect Mat passage Somme sev Somme et somme directe de sous-espaces vectoriels Définition Soit $(F_{1},\dots,F_{p})$ une famille de sous-espaces vectoriels de $E$. * On appelle somme des sous-espaces $F_{1},\dots,F_{p}$, le sous-ensemble de $E$ : $$\ds F_{1}+\dots+F_{p}=\left\{ \vv{x}\in E\left|\;\exists\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p}\right)\in F_{1}\times\dots\times F_{p}\;/\;\vv{x}=\vv{x_1}+\dots+\vv{x_p}\right.\right\}$$ Autrement dit, tout vecteur de la somme se …

Somme de deux variables aléatoires à densité indépendantes

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T19:19:19+00:00

Couples densité > Couples Somme Somme lois usuelles Espérance/variance Somme de deux variables aléatoires à densité indépendantes Théorème Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à densité indépendantes admettant respectivement $f$ et $g$ pour densité. * Pour tout réel $x$, les deux intégrales $\ds\int_{-\infty}^{+\infty}{f(t)g(x-t)\mathrm{d} t}$ et $\ds\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x-u)g(u)\mathrm{d} u}$ sont de même nature. De plus, en cas de convergence, elles sont égales.$$\ds\foral…

Sujets de mathématiques et rapports de jury

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2025-04-25T11:39:45+00:00

Accueil Mathématiques ECG2 Sujets de mathématiques et rapports de jury 2025 ECG approfondies ECG appliquées ECT BL Sujet Rapport Sujet Rapport Sujet Rapport Sujet Rapport [Maths 1] Rapport [Maths 1] Rapport [ESCP] Rapport [HEC-ESSEC] Rapport [Maths 2] Rapport [Maths 2] Rapport

Supplémentaire orthogonal

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2024-02-22T22:18:28+00:00

Esp Eucli > Prod scal Norme Ortho Fam ortho Bases ortho Supplé ortho Supplémentaire orthogonal Dans ce paragraphe, $(E,\left\langle .,.\right\rangle )$ est un espace euclidien. Théorème Soit $F$ un sous-ensemble de $E$ (et en particulier un sous-espace vectoriel de $E$). L'ensemble des vecteurs de $E$ qui sont orthogonaux à chaque vecteur de $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$$F$$E$$F$$F$$F^{\perp}$$\vv{x}\in E$$$\ds\vv{x}=\vv{0_E}\;\iff\;\forall\vv{y}\in E,\;\left\langle \vv{x},\…

Système linéaires

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T19:19:20+00:00

Ensembles > Logique Voc Ens Tribu N, Z, Q R C, Trigo Polynômes Matrices Matrices carrées Systèmes Système linéaires Définitions : Système et système homogène Soit $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ et $B\in\mathcal{M}_{n,1}(\K)$. * On appelle système linéaire l'équation $AX=B$ d'inconnue $X\in\mathcal{M}_{p,1}(\K)$. La matrice $A$ est la matrice associée à ce système. * Le système linéaire est dit homogène$B$$\mathcal{M}_{n,1}(\K)$$A\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$$B\in\mathcal{M}_{n,1}(\K)$…

Un peu de topologie de R^n

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-06-22T08:41:39+00:00

Fonctions sur ouvert de R^n > Topologie R^n C^0 / C^1 sur ouvert de R^n Classe C^2 sur ouvert de R^n Dérivée seconde direct Un peu de topologie de R^n Ensembles ouverts Définition : Pseudo-définition (=théorème admis) * Soit $\varphi$ une fonction continue sur $\R^{n}$. Soit $a$ un réel. Les ensembles : $$\ds\left\{ M\in\R^{n}\mid\varphi(M)a\right\}$$ sont des ensembles qualifiés d'ensembles ouverts dans $\R^{n}$. * $\…

Fonction de transfert

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-25T08:38:35+00:00

Couple aléa > Généralités Couples discrets Somme indép Transfert Covariance Fonction de transfert Théorème : Théorème de transfert, 1ère partie Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$. Soit $g\colon U\to\R$ où $X(\Omega)\times Y(\Omega)\subset U\subset\R^{2}$. On pose : $Z=g(X,Y)$. Alors $Z$ est une variable aléatoire dont la loi est donnée par : $$\ds Z(\Omega)=\left\{ g(x,y)\mid(x,y)\in X(\Omega)\times Y(\Omega…

Notion de tribu de parties d'un ensemble

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T19:19:20+00:00

Ensembles > Logique Voc Ens Tribu N, Z, Q R C, Trigo Polynômes Matrices Matrices carrées Systèmes Notion de tribu de parties d'un ensemble Définition On appelle tribu de parties d'un ensemble $\Omega$ tout sous-ensemble $\mathcal{A}$ de $\mathcal{P}(\Omega)$ vérifiant les propriétés : $$\Omega\in\mathcal{A}$$$$\forall A\in\mathcal{A},\;\bar{A}\in\mathcal{A}$$$$\ds\forall(A_{n})_{n\in\N}\in\mathcal{A}^{\N},\;\bigcup_{n=0}^{+\infty}{A_{n}}\in\mathcal{A}$$ $\boldsymbol{\sigma}$$\mathca…

Lien avec la matrice de l'application linéaire

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T19:19:20+00:00

Réduction endomorphismes > Valeurs propres Lien avec matrices Endo diag Réduction Lien avec la matrice de l'application linéaire Définition : Éléments propres d'une matrice Soit $A\in\mathcal{M}_{n}(\K)$ et $\lambda\in\K$. * On dit que $\lambda$ est une valeur propre de la matrice $A$ si et seulement si : $$\exists X\in\mathcal{M}_{n,1}(\K)\setminus\{0\}\;/\; AX=\lambda X$$c'est à dire que $\mathrm{rg}(A-\lambda I_{n})

Éléments propres d'un endomorphisme ou d'une matrice

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-06-22T08:20:37+00:00

Réduction endomorphismes > Valeurs propres Lien avec matrices Endo diag Réduction Éléments propres d'un endomorphisme ou d'une matrice Dans tout ce chapitre, sauf mention contraire explicite, $E$ est un $\K$-espace vectoriel. Notion de valeur propre Définition On suppose que $E$ est de dimension finie ou infinie. Soit $u\in\mathcal{L}(E)$. * $\lambda\in\K$$u$$$\ds\exists\vv{x}\in E\setminus\{\vv{0_E}\}\;/\; u(\vv{x})=\lambda\vv{x}$$$\vv{x}$$u$$\lambda$$\lambda$$u$$u-\lambda\mathrm{Id}…

Variables aléatoires discrètes

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2024-02-22T22:20:00+00:00

V.A.R.D. > Esp prob Cond, indép Var aléa discr Espé, var Lois usuelles Espé condi Variables aléatoires discrètes Définition Soit $(\Omega,\mathcal{A})$ un espace probabilisable. * On appelle variable aléatoire réelle sur cet espace probabilisable, tout application $X$ définie sur $\Omega$ à valeurs dans $\R$ telle que, pour tout réel $x$, l'ensemble $\left\{ \omega\in\Omega\mid X(\omega)\leqslant x\right\}$$\mathcal{A}$$\left[X\leqslant x\right]$$=,\geqslant,<,>$$X$$X(\Omega)$$X$$$X(\…

Variance

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-10T19:19:20+00:00

Var densité > Généralités Lois usuelles Transfert Espérance Variance Variance Définition Soit $X$ une variable aléatoire à densité dont $f$ est l'une de ses densités. * On dit que $X$ admet une variance si et seulement si $X$ admet une espérance et $(X-\mathbb{E}(X))^{2}$ admet une espérance, autrement dit, l'intégrale $\ds\int_{-\infty}^{+\infty}{\left(t-\mathbb{E}(X)\right)^{2}f(t)\mathrm{d} t}$ converge (absolument).$X$$X$$$\ds\mathbb{V}(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}{\left(t-\mathbb{…

Prépa ECG Le Mans, lycée Touchard-Washington - math:2

Vocabulaire

Étude d'une série statistique

Vocabulaire

Premier exemple

Second exemple

Ajustement affine

Fonctions et applications

Comportement asymptotique des fonctions

Bases orthonormales

Nombres complexes et trigonométrie

Techniques de calculs

Changement de base

Comportement asymptotique des suites

Continuité et classe C^1 sur une partie de R^n

Continuité des fonctions de n variables

Continuité sur un intervalle

Convergence en loi et approximations de certaines lois usuelles

Convergence en probabilité

Convexité ou concavité sur un intervalle

Couples de variables aléatoires discrètes

Couples

Covariance

Convergence et divergence

Densité par transfert

Dérivabilité sur un intervalle

Dérivée seconde directionnelle

Dérivées directionnelles en un point

Dérivées partielles d'ordre 1

Généralités sur les endomorphismes symétriques

Endomorphismes et matrices diagonalisables

Vocabulaire des ensembles

Espace probabilisé

Espérance conditionnelle

Espérance

Espérance et variance

Espérance et variance

Espérance et variance

Second exemple

Estimation par intervalle de confiance

Premier exemple

Estimation ponctuelle

Espaces et sous-espaces vectoriels

Condition suffisante d'existence d'un extremum global

Conditions d'existence d'un extremum local sur un ouvert

Extremum sous contrainte

Familles de vecteurs

Familles orthogonales et orthonormales

Fonction de classe C^2

Fonctions de classe C^1 sur R^n

Fonctions numériques définies sur R^n

Formes quadratiques

Généralités sur les séries

Généralités sur les suites

Généralités sur les applications linéaires

Généralités sur les couples de variables aléatoires

Généralités sur les variables à densité

Indépendance mutuelle

Conditionnement et indépendance

Index des notions

Mathématiques ECG2

Cas des fonctions positives

Cas des fonctions de signe variable

Intégrales généralisées ou intégrales impropres

Intégrale sur un segment

Introduction

Polynômes

Limites, continuité en un point

Logique

Lois discrètes usuelles

Lois usuelles à densité

Lois d'un vecteur aléatoire

Matrice de passage entre deux bases

Matrice d'une application linéaire

Cas des matrices carrées

Matrices

Norme

Nombres entiers et récurrence, nombres rationnels

Orthogonalité

Condition nécessaire d'ordre 1 d'existence d'un extremum