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Généralités sur les suites

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<a name=“suite”></a></html>Définition : Vocabulaire général sur les suites>

Une suite $u$ est une application de $\N$ (ou bien d'un intervalle de la forme $[\![ p,+\infty[\![$ avec $p\in\N$) dans $\R$. On note alors $u=(u_{n})_{n\in\N}$ (ou bien $u=(u_{n})_{n\geqslant p}$).
Une suite $u$ est dite minorée (resp. majorée) par un réel $m$ si et seulement si $u_{n}\geqslant m$ (resp. $u_{n}\leqslant m$) pour tout entier naturel $n$. La suite $u$ est dite bornée si et seulement si elle est minorée et majorée.
Une suite $u$ est dite croissante (resp. strictement croissante, décroissante, strictement décroissante) si et seulement si $u_{n+1}\geqslant u_{n}$ (resp. $u_{n+1}>u_{n}$, $u_{n+1}\leqslant u_{n}$, $u_{n+1}<u_{n}$).

Remarque
<html><font color=“red”>Ce dernier point ne s'applique pas aux fonctions</font></html> (ne pas confondre $x<y$ avec $n<n+1$).

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<a name=“somme”></a></html>Théorème : Espace vectoriel des suites réelles> L'ensemble des suites réelles $(u_{n})_{n\geqslant p}$ (où l'entier $p$ est fixé) est un $\R$-espace vectoriel pour les deux opérations :
$$(u_{n})_{n\geqslant p}+(v_{n})_{n\geqslant p}=(u_{n}+v_{n})_{n\geqslant p}\qquad\text{et}\qquad\lambda.(u_{n})_{n\geqslant p}=(\lambda u_{n})_{n\geqslant p}$$

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<a name=“suite_usuelle”></a></html>Définition : Suites usuelles>

Une suite $(u_{n})_{n\geqslant p}$ est dite arithmétique si et seulement s'il existe un réel $a$ tel que $u_{n+1}=u_{n}+a$ pour tout entier $n\geqslant p$. Le réel $a$ est alors appelé raison de la suite arithmétique.
Une suite $(u_{n})_{n\geqslant p}$ est dite géométrique si et seulement s'il existe un réel $q\ne0$ tel que $u_{n+1}=q\times u_{n}$ pour tout entier $n\geqslant p$. Le réel $q$ est alors appelé raison de la suite géométrique.
Une suite $(u_{n})_{n\geqslant p}$ est dite arithmético-géométrique si et seulement s'il existe un réel $a\ne1$ et un réel $b\ne0$ tels que $u_{n+1}=a\times u_{n}+b$ pour tout entier $n\geqslant p$.
Une suite $(u_{n})_{n\geqslant p}$ est dite récurrente linéaire d'ordre 2 si et seulement s'il existe un réel $a$ et un réel $b\ne0$ tels que $u_{n+2}=a\times u_{n+1}+b\times u_{n}$ pour tout entier $n\geqslant p$.

Théorème : Expression du terme général des suites usuelles

La suite $(u_{n})_{n\geqslant p}$ est arithmétique de raison $a$ si et seulement si $u_{n}=u_{p}+a(n-p)$ pour tout entier $n\geqslant p$.
La suite $(u_{n})_{n\geqslant p}$ est géométrique de raison $q$ si et seulement si $u_{n}=u_{p}\times q^{n-p}$ pour tout entier $n\geqslant p$.
Pour une suite arithmético-géométrique $(u_{n})$ vérifiant $u_{n+1}=au_{n}+b$, on procède par changement de suite en posant $v_{n}=u_{n}-\ell$ où le réel $\ell$ vérifie l'égalité $\ell=a\ell+b$ (c'est la limite de la suite $(u_{n})$ si elle en admet une) et on prouve que la suite $(v_{n})$ est géométrique.
Si la suite $(u_{n})$ est récurrente linéaire d'ordre 2 ($u_{n+2}=au_{n+1}+bu_{n}$) alors, en notant $\Delta$ le discriminant de l'équation caractéristique $x^{2}=ax+b$ associée à la suite, on a :
- si $\Delta>0$ alors il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que $u_{n}=\lambda\times r_{1}^{n}+\mu\times r_{2}^{n}$ pour tout entier $n\geqslant p$, où $r_{1}$ et $r_{2}$ sont les deux solutions réelles distinctes de l'équation caractéristique précédente ;
- si $\Delta=0$ alors il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que $u_{n}=(\lambda n+\mu)r_{0}^{n}$ pour tout entier $n\geqslant p$, où $r_{0}$ est l'unique solution réelle de l'équation caractéristique précédente ;
- si $\Delta<0$ alors, notant $\rho \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ et $\rho \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}$ les deux solutions complexes conjuguées de l'équation caractéristique précédente, il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que $u_{n}=\rho^{n}(\lambda\cos(n\theta)+\mu\sin(n\theta))$.

Exemples

Soit $a$ un réel. On définit la suite $(u_{n})_{n\in\N}$ par :
$$u_{0}=a\qquad\text{et}\qquad\forall n\in\N,\; u_{n+1}=(1-a)u_{n}+a$$
1. Déterminer l'expression du terme général de cette suite en fonction du réel $a$.
2. En déduire la nature (et la limite éventuelle) de la suite $(u_{n})$ en fonction du réel $a$.
Un feu est soit rouge, soit vert. S'il est vert à l'instant $n$ alors il est rouge à l'instant $n+1$ avec la probabilité $p$ (avec $0<p<1$) et vert à l'instant $n+1$ avec la probabilité $1-p$. S'il est rouge à l'instant $n$ alors il est vert à l'instant $n+1$ avec la probabilité $p'$ (avec $0<p'<1$) et rouge à l'instant $n+1$ avec la probabilité $1-p'$. On note $X_n$ la variable aléatoire qui prend la valeur 1 lorsque le feu est vert à l'instant $n$ et la valeur 0 lorsque le feu est rouge à l'instant $n$. On pose : $\forall n\in\N,\;u_n=\mathbb{P}(X_n=1)$.
Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction $n,p,p',u_0$ puis sa limite lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
Soit $a$ un réel. On définit la suite $(u_{n})_{n\in\N}$ par :
$$u_{0}=0\qquad u_{1}=a\qquad\text{et}\qquad\forall n\in\N,\; u_{n+2}=2u_{n+1}-a^{2}u_{n}$$
1. Déterminer l'expression du terme général de cette suite en fonction du réel $a$.
2. En déduire, lorsque cela est « possible », la nature (et la limite éventuelle) de la suite $(u_{n})$ en fonction du réel $a$.

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