L'implication se démontre par récurrence, la réciproque résulte d'un simple calcul.
L'implication se démontre par récurrence, la réciproque résulte d'un simple calcul.
L'équation $x=ax+b$ admet une unique solution $\ell=\dfrac{b}{1-a}$ puisque $a\ne1$. Pour tout entier $n\geqslant p$, on a :$$\ds v_{n+1}=u_{n+1}-\frac{b}{1-a}=au_{n}+b-\frac{b}{1-a}=a\left(v_{n}+\frac{b}{1-a}\right)-\frac{ab}{1-a}=av_{n}$$La suite $(v_{n})$ étant géométrique de raison $a$, on obtient aisément l'expression de son terme général puis celui de la suite $(u_{n})$.
On montre dans un premier temps que l'application $\Phi\colon E\to\R^{2},(u_{n})\mapsto(u_{0},u_{1})$ est un isomorphisme de $\R$-espaces vectoriels ($E$ étant l'ensemble des suites récurrentes linéaires d'ordre 2 associées aux deux réels $a$ et $b$). Lorsque $\Delta>0$ (resp. $\Delta=0$, resp. $\Delta<0$), on montre que les deux suites $(r_{1}^{n})_{n\geqslant p}$ et $(r_{2}^{n})_{n\geqslant p}$ (resp. $(nr_{0}^{n})_{n\geqslant p}$ et $(r_{0}^{n})_{n\geqslant p}$, resp. $(\rho\cos(n\theta))_{n\geqslant p}$ et $(\rho\sin(n\theta))_{n\geqslant p}$) sont éléments de $E$ puis qu'elles en constituent une base (en prouvant que leur image par $\Phi$ est une base de $\R^{2}$).