Table des matières

Fonctions sur ouvert de R^n > Topologie R^n C^0 / C^1 sur ouvert de R^n Classe C^2 sur ouvert de R^n Dérivée seconde direct

Continuité et classe C^1 sur une partie de R^n

Continuité

Définition

Soit $\mathcal{U}$ une partie de $\R^{n}$. Soit $f\colon\mathcal{U}\to\R$.

  • Soit $A$ un point de $\mathcal{U}$. On dit que $f$ est continue en $A$ si et seulement si :
    $$\ds\forall\varepsilon>0,\;\exists\alpha>0\;/\;\forall M\in\mathcal{U},\; AM=\|\vv{AM}\|\leqslant\alpha\;\implies\;\left|f(M)-f(A)\right|\leqslant\varepsilon$$
  • On dit que $f$ est continue sur $\mathcal{U}$ si et seulement si elle est continue en tout point $A$ de $\mathcal{U}$.

Théorème

Soit $f$ et $g$ définies sur $\mathcal{U}$ à valeurs dans $\R$. Soit $\lambda\in\R$. Soit $\varphi\colon I\to\R$ où $I$ est un intervalle de $\R$ contenant $f(\mathcal{U})$.

  • Si $f$ et $g$ sont continues sur $\mathcal{U}$ alors $f+g$, $\lambda f$ et $fg$ sont continues sur $\mathcal{U}$.
  • Si $f$ est continue sur $\mathcal{U}$ et si $\varphi$ est continue sur $I$ alors $\varphi\circ f$ est continue sur $\mathcal{U}$.
    En particulier, si $f$ et $g$ sont continues sur $\mathcal{U}$ et si $g$ ne s'annule pas sur $\mathcal{U}$ alors $\ds\frac{1}{g}$ et $\ds\frac{f}{g}$ sont continues sur $\mathcal{U}$.

Exemple

Justifier que $\ds f\colon(x,y)\mapsto\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ est continue sur $\R^{2}\setminus\{(0,0)\}$.

Classe C^1

Définition

Soit $\mathcal{O}$ une partie ouverte de $\R^{n}$. Soit $f\colon\mathcal{O}\to\R$.

  • Soit $A(a_{1},\dots,a_{n})$ un point de $\mathcal{O}$.
    • Soit $i\in\llbracket1,n\rrbracket$. On dit que $f$ admet une dérivée partielle d'ordre 1 par rapport à la $i$-ème variable au point $A$ si et seulement si la fonction $t\mapsto f(a_{1},\dots,a_{i-1},t,a_{i+1},\dots,a_{n})$ est dérivable en $a_{i}$ (notation : $\partial_{i}(f)(A)$).
    • Lorsque $f$ admet une dérivée partielle par rapport à toutes les variables au point $A$, on appelle gradient de $f$ au point $A$ le vecteur de $\R^{n}$ :
      $$\ds\nabla f(A)=\begin{pmatrix} \partial_{1}(f)(A) \\ \vdots \\ \partial_{n}(f)(A) \end{pmatrix}$$
    • On suppose que $f$ admet un gradient en $A$. On dit que $f$ admet un développement limité à l'ordre 1 au voisinage de $A$ si et seulement si l'une des deux conditions équivalentes suivantes est vérifiée :
      $$\ds f(A+H)=f(A)+\left\langle \nabla f(A),\vv{OH}\right\rangle +\|\vv{OH}\|\varepsilon\left(H\right)\qquad\text{avec}\;\varepsilon(O)=0\;\text{et}\;\varepsilon\text{ continue en }O$$$$\ds f(M)=f(A)+\left\langle \nabla f(A),\vv{AM}\right\rangle +\|\vv{AM}\|\varepsilon\left(M\right)\qquad\text{avec}\;\varepsilon(A)=0\;\text{et}\;\varepsilon\text{ continue en }A$$ * Lorsque $f$ admet des dérivées partielles par rapport à la $i$-ème variable en tout point de $\mathcal{O}$, on appelle **fonction dérivée partielle** de $f$ sur $\mathcal{O}$ par rapport à la $i$-ème variable la fonction $\partial_{i}(f)\colon A\mapsto\partial_{i}(f)(A)$.
  • On dit que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathcal{O}$ si et seulement si toutes les fonctions $\partial_{i}(f)$ sont définies et continues sur $\mathcal{O}$.

Remarques

Théorème

Soit $f$ et $g$ définies sur un ouvert $\mathcal{O}$ de $\R^{n}$ et à valeurs dans $\R$.

  • Soit $(\lambda,\mu)\in\R^{2}$ et $\varphi$ une fonction définie et dérivable (resp. de classe $\mathcal{C}^{1}$) sur un intervalle $I$ de $\R$ qui contient $f(\mathcal{U})$. Soit $i\in\llbracket1,n\rrbracket$. Si $f$ et $g$ admettent une fonction dérivée partielle par rapport la $i$-ème variable (resp. sont de classe $\mathcal{C}^{1}$) sur $\mathcal{O}$ alors $\lambda f+\mu g$, $f\times g$, $\ds\frac{f}{g}$ (dans le cas où $g$ ne s'annule pas sur $\mathcal{O}$) et $\varphi\circ f$ admettent une dérivée partielle par rapport à la $i$-ème variable (resp. sont de classe $\mathcal{C}^{1}$) sur $\mathcal{O}$ et on a :
    $$\ds\partial_{i}(\lambda f+\mu g)=\lambda\partial_{i}(f)+\mu\partial_{i}(g)$$$$\ds\partial_{i}(f\times g)=\partial_{i}(f)\times g+f\times\partial_{i}(g)$$$$\ds\partial_{i}\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{\partial_{i}(f)\times g-f\times\partial_{i}(g)}{g^{2}}$$$$\partial_{i}(\varphi\circ f)=\partial_{i}(f)\times\varphi'\circ f$$ * Lorsqu'il existe, le développement limité à l'ordre 1 de $f$ en un point de $\mathcal{O}$ est unique.
  • Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathcal{O}$ alors elle admet un développement limité à l'ordre 1 en tout point de $\mathcal{O}$.
  • Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathcal{O}$ alors elle est continue sur $\mathcal{O}$.

Remarque

L'existence d'un développement limité est plus contraignante que l'existence du gradient puisque dans le premier cas, on est assuré de la continuité alors que dans le second cas, on n'a aucune assurance.

Exemples

  1. Soit $A$ une matrice symétrique de $\mathcal{M}_{n}(\R)$, $B$ une matrice colonne de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ et $c$ un réel. Pour ${}^t\!X=\begin{pmatrix} x_{1} & \dots & x_{n} \end{pmatrix}$, on pose :
    $$\ds f(x_{1},\dots,x_{n})={}^t\!XAX+{}^t\!XB+c$$
    1. Justifier que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$.
    2. Montrer que :
      $$f(X+H)-f(X)={}^tH(2AX+B+AH)$$
    3. En déduire que :
      $$\nabla f(x_{1},\dots,x_{n})=2AX+B$$
  2. Montrer que la fonction $(x,y,z)\mapsto\ln(x^{2}+y^{2}+z^{2})$ admet des fonctions dérivées partielles par rapport à chaque variable sur $\R^{3}\setminus\{(0,0,0)\}$.
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